Номер 7.23, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.23. Постройте график функции:

1) $y=|x-1|$;

2) $y=\sqrt{x-1}$;

3) $y=\begin{cases} 3-x^2, &\text{если } x > 1, \\ x-2, &\text{если } x \le 1. \end{cases}$

1) $y = |x - 1|$

Для построения графика функции $y = |x - 1|$ можно использовать метод преобразования графиков.

1. Сначала построим базовый график — прямую $y = x - 1$. Это линейная функция, для ее построения достаточно двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

2. Далее применим операцию взятия модуля $y = |f(x)|$. Это преобразование означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражается относительно этой оси вверх. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.

В нашем случае, часть прямой $y=x-1$ при $x < 1$ лежит ниже оси Ox. Мы отражаем эту часть относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 0)$:
- Луч $y = x - 1$ при $x \ge 1$.
- Луч $y = -(x - 1) = 1 - x$ при $x < 1$.

Ответ:

2) $y = \sqrt{x - 1}$

Это функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, что дает $x \ge 1$. Таким образом, график функции будет расположен правее или на прямой $x=1$.

2. График функции $y = \sqrt{x-1}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

3. Для построения составим таблицу значений, выбирая $x$ из области определения:
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 - 1} = 0$. Начальная точка графика: $(1, 0)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
- При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(5, 2)$.
- При $x = 10$, $y = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(10, 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график, который является ветвью параболы, "лежащей на боку".

Ответ:

3) $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1 \\ x - 2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$

Это кусочно-заданная функция. Ее график состоит из двух частей, каждая на своем интервале.

1. При $x \le 1$, функция имеет вид $y = x - 2$.
- Это прямая линия. Построим ее по двум точкам на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Найдем значение на границе: при $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику (будет "закрашенной").
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- График на этом участке — это луч, проходящий через $(0, -2)$ и заканчивающийся в точке $(1, -1)$.

2. При $x > 1$, функция имеет вид $y = 3 - x^2$.
- Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 3 единицы вверх. Ее ветви направлены вниз.
- Нам нужна только та часть параболы, где $x > 1$.
- Найдем значение в граничной точке: при $x=1$, $y = 3 - 1^2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1, 2)$ не принадлежит графику и будет "выколотой" (пустой кружок).
- Найдем еще несколько точек:
- при $x=2$, $y = 3 - 2^2 = -1$. Точка $(2, -1)$.
- при $x=1.5$, $y = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$. Точка $(1.5, 0.75)$.
- График на этом участке — это часть параболы, начинающаяся от выколотой точки $(1, 2)$ и идущая вниз.

В точке $x=1$ функция терпит разрыв.

Ответ: