Номер 7.24, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.24. Решите уравнение:

1) $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0;$

2) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0;$

3) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2;$

4) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 1.$

1) $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к переменной $x$:
а) Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Если $\cos x = -1$, то $x = \arccos(-1) + 2\pi n$, то есть $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) $4 \sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид: $4t^2 + 11t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|\sin x| \le 1$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к переменной $x$ с единственным подходящим корнем $t_1 = \frac{1}{4}$:
$\sin x = \frac{1}{4}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны существовать, то есть $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это означает $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \frac{\sqrt{3}}{\operatorname{tg} x} = 2$
Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$ (где $t \ne 0$):
$\sqrt{3}t - \frac{\sqrt{3}}{t} = 2$
Умножим обе части уравнения на $t$:
$\sqrt{3}t^2 - \sqrt{3} = 2t$
$\sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$t_2 = \frac{2 - 4}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Вернемся к переменной $x$:
а) Если $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$, то $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Если $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то $x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, то есть $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

4) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 1$
Это уравнение вида $a \sin y + b \cos y = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = \frac{1}{2}$
Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2x = \frac{1}{2}$
Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
Это уравнение распадается на две серии решений:
1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $-\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$