Докажите самостоятельно, страница 205 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Формула $(\cos x)' = -\sin x$ доказывается аналогично.

Для доказательства формулы производной косинуса воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

В нашем случае, $f(x) = \cos x$. Подставим эту функцию в определение производной:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Далее, преобразуем числитель дроби, используя тригонометрическую формулу разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Применим эту формулу для нашего числителя, где $\alpha = x + \Delta x$ и $\beta = x$:

$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2 \sin\left(\frac{x + \Delta x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{x + \Delta x - x}{2}\right) = -2 \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin(x + \frac{\Delta x}{2}) \sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

Перегруппируем множители в выражении под знаком предела, чтобы выделить первый замечательный предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{2 \sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$

Поскольку предел произведения равен произведению пределов (при условии, что они существуют), мы можем разбить предел на два:

$(\cos x)' = \left( \lim_{\Delta x \to 0} -\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)$

Найдем значение каждого предела по отдельности.

1. Первый предел. Так как функция $y = \sin t$ непрерывна, мы можем подставить $\Delta x = 0$ в аргумент:

$\lim_{\Delta x \to 0} -\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) = -\sin\left(x + \frac{0}{2}\right) = -\sin x$

2. Второй предел. Это первый замечательный предел $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$. В нашем случае $u = \frac{\Delta x}{2}$, и при $\Delta x \to 0$, $u$ также стремится к нулю:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$

Наконец, перемножим результаты двух пределов:

$(\cos x)' = (-\sin x) \cdot 1 = -\sin x$

Таким образом, формула $(\cos x)' = -\sin x$ доказана. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $(\cos x)' = -\sin x$ доказана путем использования определения производной, формулы разности косинусов и первого замечательного предела.