Номер 7.19, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.19. Пусть графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ пересекаются в точке $x = x_0$. Тогда угол, образованный касательными, проведенными к графикам данных функций в точке $x = x_0$, называется углом между данными кривыми. Найдите угол между кривыми $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$.

Согласно определению, угол между двумя кривыми — это угол между касательными, проведенными к графикам этих функций в точке их пересечения.

1. Нахождение точки пересечения.
Сначала найдем точку пересечения кривых $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = \frac{8}{x}$
Поскольку $x=0$ не входит в область определения второй функции, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$x^3 = 8$
Отсюда находим единственное действительное решение, которое является абсциссой точки пересечения: $x_0 = 2$.
Теперь найдем соответствующую ординату, подставив $x_0 = 2$ в любое из исходных уравнений:
$y_0 = 2^2 = 4$.
Таким образом, кривые пересекаются в точке $M(2; 4)$.

2. Нахождение угловых коэффициентов касательных.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.
Найдем производные заданных функций:
Для кривой $y = f(x) = x^2$ производная равна $f'(x) = 2x$.
Для кривой $y = g(x) = \frac{8}{x}$ производная равна $g'(x) = (8x^{-1})' = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.
Теперь вычислим угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ касательных в точке $x_0 = 2$:
$k_1 = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
$k_2 = g'(2) = -\frac{8}{2^2} = -\frac{8}{4} = -2$.

3. Вычисление угла между касательными.
Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле тангенса угла между прямыми:
$\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$
Подставим в формулу найденные значения $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$:
$\tan \alpha = \left| \frac{-2 - 4}{1 + 4 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{-6}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-6}{-7} \right| = \frac{6}{7}$.
Искомый угол $\alpha$ — это арктангенс полученного значения.
$\alpha = \arctan\left(\frac{6}{7}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{6}{7}\right)$.