Номер 7.18, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.18. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = 1$:

1) $f(x) = x^2 + x + 1;$

2) $f(x) = x - 2x^2;$

3) $f(x) = x^3;$

4) $f(x) = 2x^2 - 3.$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Во всех случаях $x_0 = 1$.

1) Для функции $f(x) = x^2 + x + 1$ в точке $x_0 = 1$.
Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$.
Теперь найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.
Подставим найденные значения $f(1) = 3$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 3(x - 1)$
$y = 3 + 3x - 3$
$y = 3x$.
Ответ: $y = 3x$.

2) Для функции $f(x) = x - 2x^2$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x - 2x^2)' = 1 - 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 1 - 4 \cdot 1 = -3$.
Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -1 + (-3)(x - 1)$
$y = -1 - 3x + 3$
$y = -3x + 2$.
Ответ: $y = -3x + 2$.

3) Для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^3 = 1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.
Подставим найденные значения $f(1) = 1$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$.
Ответ: $y = 3x - 2$.

4) Для функции $f(x) = 2x^2 - 3$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 = 2 - 3 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - 3)' = 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 4$ в уравнение касательной:
$y = -1 + 4(x - 1)$
$y = -1 + 4x - 4$
$y = 4x - 5$.
Ответ: $y = 4x - 5$.