Номер 7.22, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.22. Найдите область определения и область значений функций:

1) $y = \sqrt{x^2 + 4}$;

2) $y = 1 + \sin^2 2x$;

3) $y = \frac{x+1}{x-1}$.

1) $y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения (D(y)):
Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, то есть $x^2 + 4 \ge 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и сумма $x^2 + 4$ всегда будет положительной (точнее, $x^2 + 4 \ge 4$).
Следовательно, неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Область значений (E(y)):
Найдем множество значений, которые может принимать переменная $y$.
Мы знаем, что наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$).
Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 4$ равно $0^2 + 4 = 4$.
При увеличении $|x|$, значение $x^2+4$ будет неограниченно возрастать. Таким образом, $x^2+4 \ge 4$.
Так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ является возрастающей, то наименьшее значение $y$ будет $\sqrt{4} = 2$.
Следовательно, $y \ge 2$.
Таким образом, область значений функции — все числа, большие или равные 2.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[2; +\infty)$.

2) $y = 1 + \sin^2 2x$

Область определения (D(y)):
Функция $\sin(2x)$ определена для любых действительных значений $x$. Никаких других ограничений (деление на ноль, корень из отрицательного числа и т.д.) в выражении нет.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Область значений (E(y)):
Область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$. То есть, $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
При возведении в квадрат значения синуса будут лежать в отрезке $[0; 1]$. То есть, $0 \le \sin^2(2x) \le 1$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + 0 \le 1 + \sin^2(2x) \le 1 + 1$
$1 \le y \le 2$
Таким образом, область значений функции — отрезок от 1 до 2 включительно.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[1; 2]$.

3) $y = \frac{x+1}{x-1}$

Область определения (D(y)):
Функция представляет собой дробь. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Это значение необходимо исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$.

Область значений (E(y)):
Чтобы найти область значений, выразим переменную $x$ через $y$:
$y = \frac{x+1}{x-1}$
$y(x - 1) = x + 1$
$yx - y = x + 1$
$yx - x = y + 1$
$x(y - 1) = y + 1$
$x = \frac{y+1}{y-1}$
Полученное выражение для $x$ определено для всех значений $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
$y - 1 = 0 \implies y = 1$.
Это означает, что $y$ может принимать любое значение, кроме 1.
Таким образом, область значений функции — все действительные числа, кроме $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.