Страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.18. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = 1$:

1) $f(x) = x^2 + x + 1;$

2) $f(x) = x - 2x^2;$

3) $f(x) = x^3;$

4) $f(x) = 2x^2 - 3.$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Во всех случаях $x_0 = 1$.

1) Для функции $f(x) = x^2 + x + 1$ в точке $x_0 = 1$.
Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$.
Теперь найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.
Подставим найденные значения $f(1) = 3$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 3(x - 1)$
$y = 3 + 3x - 3$
$y = 3x$.
Ответ: $y = 3x$.

2) Для функции $f(x) = x - 2x^2$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x - 2x^2)' = 1 - 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 1 - 4 \cdot 1 = -3$.
Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -1 + (-3)(x - 1)$
$y = -1 - 3x + 3$
$y = -3x + 2$.
Ответ: $y = -3x + 2$.

3) Для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^3 = 1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.
Подставим найденные значения $f(1) = 1$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$.
Ответ: $y = 3x - 2$.

4) Для функции $f(x) = 2x^2 - 3$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 = 2 - 3 = -1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - 3)' = 4x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 4$ в уравнение касательной:
$y = -1 + 4(x - 1)$
$y = -1 + 4x - 4$
$y = 4x - 5$.
Ответ: $y = 4x - 5$.

7.19. Пусть графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ пересекаются в точке $x = x_0$. Тогда угол, образованный касательными, проведенными к графикам данных функций в точке $x = x_0$, называется углом между данными кривыми. Найдите угол между кривыми $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$.

Согласно определению, угол между двумя кривыми — это угол между касательными, проведенными к графикам этих функций в точке их пересечения.

1. Нахождение точки пересечения.
Сначала найдем точку пересечения кривых $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 = \frac{8}{x}$
Поскольку $x=0$ не входит в область определения второй функции, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$x^3 = 8$
Отсюда находим единственное действительное решение, которое является абсциссой точки пересечения: $x_0 = 2$.
Теперь найдем соответствующую ординату, подставив $x_0 = 2$ в любое из исходных уравнений:
$y_0 = 2^2 = 4$.
Таким образом, кривые пересекаются в точке $M(2; 4)$.

2. Нахождение угловых коэффициентов касательных.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке.
Найдем производные заданных функций:
Для кривой $y = f(x) = x^2$ производная равна $f'(x) = 2x$.
Для кривой $y = g(x) = \frac{8}{x}$ производная равна $g'(x) = (8x^{-1})' = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.
Теперь вычислим угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ касательных в точке $x_0 = 2$:
$k_1 = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
$k_2 = g'(2) = -\frac{8}{2^2} = -\frac{8}{4} = -2$.

3. Вычисление угла между касательными.
Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ можно найти по формуле тангенса угла между прямыми:
$\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$
Подставим в формулу найденные значения $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$:
$\tan \alpha = \left| \frac{-2 - 4}{1 + 4 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{-6}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-6}{-7} \right| = \frac{6}{7}$.
Искомый угол $\alpha$ — это арктангенс полученного значения.
$\alpha = \arctan\left(\frac{6}{7}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{6}{7}\right)$.

7.20. Найдите дифференциал функции в точках $x = 1$, $x = -1$ и $x = x_0$:

1) $f(x) = x + 4;$

2) $g(x) = 2x + 3;$

3) $u(x) = x^2 - 1;$

4) $v(x) = 4 - x^2.$

1) Для функции $f(x) = x + 4$.
Дифференциал функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ находится по формуле $dy = f'(x_0)dx$.
Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x + 4)' = 1$.
Поскольку производная является константой, ее значение не зависит от точки $x$.

• При $x=1$: $f'(1) = 1$, дифференциал $df(1) = 1 \cdot dx = dx$.
• При $x=-1$: $f'(-1) = 1$, дифференциал $df(-1) = 1 \cdot dx = dx$.
• При $x=x_0$: $f'(x_0) = 1$, дифференциал $df(x_0) = 1 \cdot dx = dx$.

2) Для функции $g(x) = 2x + 3$.
Найдем производную функции: $g'(x) = (2x + 3)' = 2$.
Значение производной также является константой и не зависит от точки $x$.

• При $x=1$: $g'(1) = 2$, дифференциал $dg(1) = 2dx$.
• При $x=-1$: $g'(-1) = 2$, дифференциал $dg(-1) = 2dx$.
• При $x=x_0$: $g'(x_0) = 2$, дифференциал $dg(x_0) = 2dx$.

3) Для функции $u(x) = x^2 - 1$.
Найдем производную функции: $u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.
Теперь найдем значения дифференциала в заданных точках.

• При $x=1$: $u'(1) = 2 \cdot 1 = 2$. Дифференциал $du(1) = 2dx$.
• При $x=-1$: $u'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$. Дифференциал $du(-1) = -2dx$.
• При $x=x_0$: $u'(x_0) = 2x_0$. Дифференциал $du(x_0) = 2x_0dx$.

4) Для функции $v(x) = 4 - x^2$.
Найдем производную функции: $v'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.
Теперь найдем значения дифференциала в заданных точках.

• При $x=1$: $v'(1) = -2 \cdot 1 = -2$. Дифференциал $dv(1) = -2dx$.
• При $x=-1$: $v'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$. Дифференциал $dv(-1) = 2dx$.
• При $x=x_0$: $v'(x_0) = -2x_0$. Дифференциал $dv(x_0) = -2x_0dx$.

7.21. Покажите, что дифференциал функции $y = ax + b$ не зависит от точки $x = x_0$.

Чтобы показать, что дифференциал функции $y = ax + b$ не зависит от точки $x = x_0$, необходимо найти этот дифференциал.

По определению, дифференциал функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ вычисляется по формуле:
$dy = f'(x_0) \cdot dx$

где $f'(x_0)$ — это значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. Найдем производную функции $y = ax + b$ по переменной $x$.
$y' = f'(x) = (ax + b)'$

Используя правила дифференцирования (производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной), получаем:
$f'(x) = (ax)' + (b)' = a \cdot (x)' + 0 = a \cdot 1 = a$

2. Мы видим, что производная функции $y = ax + b$ является постоянной величиной, равной $a$, и не зависит от $x$. Следовательно, ее значение в любой точке $x_0$ также будет равно $a$:
$f'(x_0) = a$

3. Теперь подставим найденное значение производной в формулу для дифференциала:
$dy = a \cdot dx$

Полученное выражение для дифференциала $dy = a \cdot dx$ не содержит $x_0$. Это означает, что дифференциал линейной функции $y = ax + b$ является величиной постоянной для любого значения $x$ и, следовательно, не зависит от выбора точки $x_0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Дифференциал функции $y = ax + b$ равен $dy = a \cdot dx$. Это выражение не содержит $x_0$, поэтому дифференциал не зависит от точки, в которой он вычисляется.

7.22. Найдите область определения и область значений функций:

1) $y = \sqrt{x^2 + 4}$;

2) $y = 1 + \sin^2 2x$;

3) $y = \frac{x+1}{x-1}$.

1) $y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения (D(y)):
Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, то есть $x^2 + 4 \ge 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и сумма $x^2 + 4$ всегда будет положительной (точнее, $x^2 + 4 \ge 4$).
Следовательно, неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Область значений (E(y)):
Найдем множество значений, которые может принимать переменная $y$.
Мы знаем, что наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$).
Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 4$ равно $0^2 + 4 = 4$.
При увеличении $|x|$, значение $x^2+4$ будет неограниченно возрастать. Таким образом, $x^2+4 \ge 4$.
Так как функция $f(t)=\sqrt{t}$ является возрастающей, то наименьшее значение $y$ будет $\sqrt{4} = 2$.
Следовательно, $y \ge 2$.
Таким образом, область значений функции — все числа, большие или равные 2.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[2; +\infty)$.

2) $y = 1 + \sin^2 2x$

Область определения (D(y)):
Функция $\sin(2x)$ определена для любых действительных значений $x$. Никаких других ограничений (деление на ноль, корень из отрицательного числа и т.д.) в выражении нет.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Область значений (E(y)):
Область значений функции синус — отрезок $[-1; 1]$. То есть, $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
При возведении в квадрат значения синуса будут лежать в отрезке $[0; 1]$. То есть, $0 \le \sin^2(2x) \le 1$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям этого двойного неравенства:
$1 + 0 \le 1 + \sin^2(2x) \le 1 + 1$
$1 \le y \le 2$
Таким образом, область значений функции — отрезок от 1 до 2 включительно.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[1; 2]$.

3) $y = \frac{x+1}{x-1}$

Область определения (D(y)):
Функция представляет собой дробь. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Это значение необходимо исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$.

Область значений (E(y)):
Чтобы найти область значений, выразим переменную $x$ через $y$:
$y = \frac{x+1}{x-1}$
$y(x - 1) = x + 1$
$yx - y = x + 1$
$yx - x = y + 1$
$x(y - 1) = y + 1$
$x = \frac{y+1}{y-1}$
Полученное выражение для $x$ определено для всех значений $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.
$y - 1 = 0 \implies y = 1$.
Это означает, что $y$ может принимать любое значение, кроме 1.
Таким образом, область значений функции — все действительные числа, кроме $y=1$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

7.23. Постройте график функции:

1) $y=|x-1|$;

2) $y=\sqrt{x-1}$;

3) $y=\begin{cases} 3-x^2, &\text{если } x > 1, \\ x-2, &\text{если } x \le 1. \end{cases}$

1) $y = |x - 1|$

Для построения графика функции $y = |x - 1|$ можно использовать метод преобразования графиков.

1. Сначала построим базовый график — прямую $y = x - 1$. Это линейная функция, для ее построения достаточно двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

2. Далее применим операцию взятия модуля $y = |f(x)|$. Это преобразование означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражается относительно этой оси вверх. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.

В нашем случае, часть прямой $y=x-1$ при $x < 1$ лежит ниже оси Ox. Мы отражаем эту часть относительно оси Ox.

Итоговый график состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 0)$:
- Луч $y = x - 1$ при $x \ge 1$.
- Луч $y = -(x - 1) = 1 - x$ при $x < 1$.

Ответ:

2) $y = \sqrt{x - 1}$

Это функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, что дает $x \ge 1$. Таким образом, график функции будет расположен правее или на прямой $x=1$.

2. График функции $y = \sqrt{x-1}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

3. Для построения составим таблицу значений, выбирая $x$ из области определения:
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 - 1} = 0$. Начальная точка графика: $(1, 0)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
- При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(5, 2)$.
- При $x = 10$, $y = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(10, 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график, который является ветвью параболы, "лежащей на боку".

Ответ:

3) $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1 \\ x - 2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$

Это кусочно-заданная функция. Ее график состоит из двух частей, каждая на своем интервале.

1. При $x \le 1$, функция имеет вид $y = x - 2$.
- Это прямая линия. Построим ее по двум точкам на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Найдем значение на границе: при $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику (будет "закрашенной").
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
- График на этом участке — это луч, проходящий через $(0, -2)$ и заканчивающийся в точке $(1, -1)$.

2. При $x > 1$, функция имеет вид $y = 3 - x^2$.
- Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 3 единицы вверх. Ее ветви направлены вниз.
- Нам нужна только та часть параболы, где $x > 1$.
- Найдем значение в граничной точке: при $x=1$, $y = 3 - 1^2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1, 2)$ не принадлежит графику и будет "выколотой" (пустой кружок).
- Найдем еще несколько точек:
- при $x=2$, $y = 3 - 2^2 = -1$. Точка $(2, -1)$.
- при $x=1.5$, $y = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$. Точка $(1.5, 0.75)$.
- График на этом участке — это часть параболы, начинающаяся от выколотой точки $(1, 2)$ и идущая вниз.

В точке $x=1$ функция терпит разрыв.

Ответ:

7.24. Решите уравнение:

1) $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0;$

2) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0;$

3) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2;$

4) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 1.$

1) $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к переменной $x$:
а) Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Если $\cos x = -1$, то $x = \arccos(-1) + 2\pi n$, то есть $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) $4 \sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение принимает вид: $4t^2 + 11t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $|\sin x| \le 1$, поэтому он является посторонним.
Вернемся к переменной $x$ с единственным подходящим корнем $t_1 = \frac{1}{4}$:
$\sin x = \frac{1}{4}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-1)^n \arcsin\frac{1}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

3) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \sqrt{3} \operatorname{ctg} x = 2$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны существовать, то есть $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это означает $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x - \frac{\sqrt{3}}{\operatorname{tg} x} = 2$
Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$ (где $t \ne 0$):
$\sqrt{3}t - \frac{\sqrt{3}}{t} = 2$
Умножим обе части уравнения на $t$:
$\sqrt{3}t^2 - \sqrt{3} = 2t$
$\sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{2 + 4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$t_2 = \frac{2 - 4}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Вернемся к переменной $x$:
а) Если $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$, то $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Если $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то $x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$, то есть $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$

4) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 1$
Это уравнение вида $a \sin y + b \cos y = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = \frac{1}{2}$
Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения в уравнение:
$\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 2x = \frac{1}{2}$
Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
Это уравнение распадается на две серии решений:
1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $-\frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.$