Страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.36. 1) $y = x \operatorname{arctg} x;$

2) $y = \sqrt{x} \arccos x;$

3) $y = \frac{\sqrt{x^3}}{\arcsin x};$

4) $y = - \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}.$

1) Для нахождения производной функции $y = x \operatorname{arctg} x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{arctg} x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (x \operatorname{arctg} x)' = (x)' \cdot \operatorname{arctg} x + x \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{arctg} x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^2}$.

Ответ: $y' = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} \operatorname{arccos} x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v(x) = \operatorname{arccos} x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v'(x) = (\operatorname{arccos} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (\sqrt{x} \operatorname{arccos} x)' = (\sqrt{x})' \operatorname{arccos} x + \sqrt{x} (\operatorname{arccos} x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \operatorname{arccos} x + \sqrt{x} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\operatorname{arccos} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{\operatorname{arccos} x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{x^3}}{\operatorname{arcsin} x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x^3} = x^{3/2}$ и $v(x) = \operatorname{arcsin} x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$ и $v'(x) = (\operatorname{arcsin} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^{3/2})' \operatorname{arcsin} x - x^{3/2} (\operatorname{arcsin} x)'}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2} \operatorname{arcsin} x - x^{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2} \operatorname{arcsin} x - \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

Упростим выражение, приведя числитель к общему знаменателю $2\sqrt{1-x^2}$ и вынося общий множитель $\sqrt{x}$:

$y' = \frac{\frac{3\sqrt{x}\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x^2}}}{(\operatorname{arcsin} x)^2} = \frac{\sqrt{x}(3\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x)}{2\sqrt{1-x^2}(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{\sqrt{x}(3\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsin} x - 2x)}{2\sqrt{1-x^2}(\operatorname{arcsin} x)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = -\frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ с учетом знака минус перед дробью.

Пусть $u(x) = \operatorname{arcctg} x$ и $v(x) = \sqrt{2x}$.

Находим их производные: $u'(x) = (\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$ и $v'(x) = (\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = - \left( \frac{u'v - uv'}{v^2} \right) = - \frac{(-\frac{1}{1+x^2})\sqrt{2x} - (\operatorname{arcctg} x) \frac{1}{\sqrt{2x}}}{(\sqrt{2x})^2}$.

$y' = - \frac{-\frac{\sqrt{2x}}{1+x^2} - \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}}{2x} = \frac{\frac{\sqrt{2x}}{1+x^2} + \frac{\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}}}{2x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{2x}(1+x^2)$:

$y' = \frac{\frac{(\sqrt{2x})^2 + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{\sqrt{2x}(1+x^2)}}{2x} = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2x \sqrt{2x}(1+x^2)} = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2\sqrt{2}x^{3/2}(1+x^2)}$.

Ответ: $y' = \frac{2x + (1+x^2)\operatorname{arcctg} x}{2\sqrt{2}x^{3/2}(1+x^2)}$.

7.37.

1) $y = \sqrt{1 + x^2} \cdot \cos x$;

2) $y = \sqrt{1 - x^2} \cdot \sin x$.

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1+x^2} \cdot \cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{1+x^2}$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем производную функции $u(x) = \sqrt{1+x^2}$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\sqrt{t})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(1+x^2)'$ равна $2x$.

$u'(x) = (\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Производная функции $v(x) = \cos x$ равна $v'(x) = -\sin x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \cos x + \sqrt{1+x^2} \cdot (-\sin x) = \frac{x \cos x}{\sqrt{1+x^2}} - \sqrt{1+x^2} \sin x$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{1+x^2}$:

$y' = \frac{x \cos x - (\sqrt{1+x^2} \sin x) \cdot \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{x \cos x - (1+x^2) \sin x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - (1+x^2) \sin x}{\sqrt{1+x^2}}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1-x^2} \cdot \sin x$ также воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производную функции $u(x) = \sqrt{1-x^2}$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\sqrt{t})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(1-x^2)'$ равна $-2x$.

$u'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Производная функции $v(x) = \sin x$ равна $v'(x) = \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sin x + \sqrt{1-x^2} \cdot \cos x$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{1-x^2}$:

$y' = \frac{-x \sin x + \sqrt{1-x^2} \cos x \cdot \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x \sin x + (1-x^2) \cos x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(1-x^2) \cos x - x \sin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{(1-x^2) \cos x - x \sin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

7.38. Решите уравнение $f'(x) = 0:$

1) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4;$

2) $f(x) = x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17.$

1) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4$ сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования (производная суммы, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная константы):

$f'(x) = (\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4)' = (\frac{x^4}{4})' + (\frac{2x^3}{3})' - (\frac{x^2}{2})' - (2x)' + (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = x^3 + 2x^2 - x - 2$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-2; -1; 1$.

2) Для функции $f(x) = x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17$ найдем ее производную $f'(x)$.

$f'(x) = (x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17)' = (x^4)' + (\frac{4x^3}{3})' - (8x^2)' - (16x)' + (17)'$

$f'(x) = 4x^3 + \frac{4}{3} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x - 16 + 0 = 4x^3 + 4x^2 - 16x - 16$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 + 4x^2 - 16x - 16 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + x^2) - (4x + 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x^2 - 4) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-2; -1; 2$.

7.39. Найдите значение производной функции в указанной точке:

1) $y = \frac{x^3 - 3x}{2x^4 + 1}$, $x = -1$; $x = 2;

2) $y = \left(\frac{3}{x}+x\right)(\sqrt{x-1})$, $x = 1, x = 4.

1) Дана функция $y = \frac{x^3 - 3x}{2x^4 + 1}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 2x^4 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$

$v'(x) = (2x^4 + 1)' = 8x^3$

Теперь подставим эти выражения в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(3x^2 - 3)(2x^4 + 1) - (x^3 - 3x)(8x^3)}{(2x^4 + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(6x^6 + 3x^2 - 6x^4 - 3) - (8x^6 - 24x^4)}{(2x^4 + 1)^2} = \frac{6x^6 + 3x^2 - 6x^4 - 3 - 8x^6 + 24x^4}{(2x^4 + 1)^2} = \frac{-2x^6 + 18x^4 + 3x^2 - 3}{(2x^4 + 1)^2}$

Теперь найдем значение производной в указанных точках.

При $x = -1$:

$y'(-1) = \frac{-2(-1)^6 + 18(-1)^4 + 3(-1)^2 - 3}{(2(-1)^4 + 1)^2} = \frac{-2(1) + 18(1) + 3(1) - 3}{(2(1) + 1)^2} = \frac{-2 + 18 + 3 - 3}{(3)^2} = \frac{16}{9}$

При $x = 2$:

$y'(2) = \frac{-2(2)^6 + 18(2)^4 + 3(2)^2 - 3}{(2(2)^4 + 1)^2} = \frac{-2(64) + 18(16) + 3(4) - 3}{(2(16) + 1)^2} = \frac{-128 + 288 + 12 - 3}{(32 + 1)^2} = \frac{169}{33^2} = \frac{169}{1089}$

Ответ: $y'(-1) = \frac{16}{9}$; $y'(2) = \frac{169}{1089}$.

2) Дана функция $y = (\frac{3}{x} + x)(\sqrt{x} - 1)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{3}{x} + x = 3x^{-1} + x$ и $v(x) = \sqrt{x} - 1 = x^{1/2} - 1$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (3x^{-1} + x)' = -3x^{-2} + 1 = 1 - \frac{3}{x^2}$

$v'(x) = (x^{1/2} - 1)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим эти выражения в формулу для производной произведения:

$y' = (1 - \frac{3}{x^2})(\sqrt{x} - 1) + (\frac{3}{x} + x)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Теперь найдем значение производной в указанных точках.

При $x = 1$:

$y'(1) = (1 - \frac{3}{1^2})(\sqrt{1} - 1) + (\frac{3}{1} + 1)(\frac{1}{2\sqrt{1}}) = (1 - 3)(1 - 1) + (3 + 1)(\frac{1}{2}) = (-2)(0) + 4(\frac{1}{2}) = 0 + 2 = 2$

При $x = 4$:

$y'(4) = (1 - \frac{3}{4^2})(\sqrt{4} - 1) + (\frac{3}{4} + 4)(\frac{1}{2\sqrt{4}}) = (1 - \frac{3}{16})(2 - 1) + (\frac{3}{4} + \frac{16}{4})(\frac{1}{2 \cdot 2}) = (\frac{13}{16})(1) + (\frac{19}{4})(\frac{1}{4}) = \frac{13}{16} + \frac{19}{16} = \frac{32}{16} = 2$

Ответ: $y'(1) = 2$; $y'(4) = 2$.

7.40. Докажите формулу $(f(ax + b))' = a \cdot f'(ax + b)$, если функция $y = f(x)$ дифференцируема.

Для доказательства данной формулы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (также известным как цепное правило). Функция $y(x) = f(ax + b)$ является сложной функцией.

Введем вспомогательную (внутреннюю) функцию $u(x) = ax + b$. Тогда исходную функцию можно представить в виде композиции двух функций: $y(x) = f(u(x))$, где $f(u)$ — это внешняя функция, а $u(x)$ — внутренняя.

Согласно правилу дифференцирования сложной функции, производная $y(x)$ по $x$ равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $u$ на производную внутренней функции по $x$:

$(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$

Найдем производную внутренней функции $u(x) = ax + b$ по переменной $x$:

$u'(x) = (ax + b)' = (ax)' + (b)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$(ax)' = a$ (производная линейной функции)

$(b)' = 0$ (производная константы)

Следовательно, $u'(x) = a + 0 = a$.

Теперь подставим это значение в формулу для производной сложной функции:

$(f(ax + b))' = f'(ax + b) \cdot (ax + b)' = f'(ax + b) \cdot a$

Переставляя множители для удобства, получаем искомую формулу:

$(f(ax + b))' = a \cdot f'(ax + b)$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $(f(ax + b))' = a \cdot f'(ax + b)$ доказана на основе правила дифференцирования сложной функции. Вводится внутренняя функция $u(x) = ax+b$, производная которой равна $u'(x)=a$. По цепному правилу, производная исходной функции равна $f'(u) \cdot u' = f'(ax+b) \cdot a$, что и требовалось доказать.

7.41. Используя формулу из предыдущей задачи, найдите производную функции:

1) $y = (2x + 3)^{10};$

2) $y = (3 - 4x)^{8};$

3) $y = \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

5) $y = \operatorname{tg} 4x;$

6) $y = (2x - 1)^{6} \cdot (3x + 2)^{4}.$

1) Для функции $y = (2x + 3)^{10}$ используем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, где $f(u) = u^{10}$ — внешняя функция, а $g(x) = 2x + 3$ — внутренняя.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (u^{10})' = 10u^9$.
$g'(x) = (2x + 3)' = 2$.
Подставляем найденные производные в формулу, заменяя $u$ на $g(x)$:
$y' = 10(2x+3)^9 \cdot 2 = 20(2x+3)^9$.
Ответ: $y' = 20(2x+3)^9$.

2) Для функции $y = (3 - 4x)^8$ применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^8$, внутренняя функция $g(x) = 3 - 4x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (u^8)' = 8u^7$.
$g'(x) = (3 - 4x)' = -4$.
Собираем производную исходной функции:
$y' = 8(3 - 4x)^7 \cdot (-4) = -32(3 - 4x)^7$.
Ответ: $y' = -32(3 - 4x)^7$.

3) Для функции $y = \sin(3x - \frac{\pi}{3})$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя функция $g(x) = 3x - \frac{\pi}{3}$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{3})' = 3$.
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $y' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

4) Для функции $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$ применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})' = \frac{1}{2}$.
Таким образом, производная исходной функции равна:
$y' = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

5) Для функции $y = \tan(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \tan(u)$, внутренняя функция $g(x) = 4x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\tan(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x)' = 4$.
Производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)}$.
Ответ: $y' = \frac{4}{\cos^2(4x)}$.

6) Для функции $y = (2x - 1)^6 \cdot (3x + 2)^4$ необходимо использовать правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило производной сложной функции.
Пусть $u(x) = (2x - 1)^6$ и $v(x) = (3x + 2)^4$.
Найдем производные $u'$ и $v'$, используя правило для сложной функции:
$u' = ((2x - 1)^6)' = 6(2x - 1)^5 \cdot (2x - 1)' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2 = 12(2x - 1)^5$.
$v' = ((3x + 2)^4)' = 4(3x + 2)^3 \cdot (3x + 2)' = 4(3x + 2)^3 \cdot 3 = 12(3x + 2)^3$.
Теперь подставим $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^4 + (2x - 1)^6 \cdot 12(3x + 2)^3$.
Для упрощения выражения вынесем общие множители за скобки: $12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3$.
$y' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3 [(3x + 2) + (2x - 1)]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(3x + 2) + (2x - 1) = 5x + 1$.
Получаем окончательное выражение для производной:
$y' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3 (5x + 1)$.
Ответ: $y' = 12(5x+1)(2x-1)^5(3x+2)^3$.

7.42. Определите коэффициент при $x$ в многочлене $(x + 1)^{30}$.

Для определения коэффициента при $x$ в многочлене $(x + 1)^{30}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$, где $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 30$. Подставим эти значения в формулу:

$(x + 1)^{30} = \sum_{k=0}^{30} C_{30}^{k} x^{30-k} 1^k = \sum_{k=0}^{30} C_{30}^{k} x^{30-k}$.

Нам нужно найти член разложения, который содержит $x$ в первой степени, то есть $x^1$. Для этого показатель степени при $x$ должен быть равен 1:

$30 - k = 1$

Отсюда находим $k$:

$k = 30 - 1 = 29$.

Теперь найдем коэффициент, соответствующий этому значению $k$. Коэффициент при $x^1$ равен $C_{30}^{29}$.

Вычислим значение этого биномиального коэффициента:

$C_{30}^{29} = \frac{30!}{29!(30-29)!} = \frac{30!}{29! \cdot 1!} = \frac{30 \cdot 29!}{29!} = 30$.

Таким образом, член многочлена, содержащий $x$, равен $30x$, а искомый коэффициент при $x$ равен 30.

Ответ: 30.

7.43. Дан многочлен $(x - 2)^{100} = a_0 \cdot x^{100} + a_1 \cdot x^{99} + \dots + a_{99} \cdot x + a_{100}$.

Найдите сумму:

1) $a_0 + a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

2) $100 \cdot a_0 + 99 \cdot a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

1) $a_0 + a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

Пусть дан многочлен $P(x) = (x-2)^{100}$. По условию, его можно записать в виде $P(x) = a_0 x^{100} + a_1 x^{99} + \dots + a_{99} x + a_{100}$.

Сумма коэффициентов любого многочлена равна значению этого многочлена в точке $x=1$. Чтобы найти искомую сумму, подставим $x=1$ в обе части заданного тождества.

Левая часть:

$P(1) = (1-2)^{100} = (-1)^{100} = 1$.

Правая часть:

$P(1) = a_0 \cdot 1^{100} + a_1 \cdot 1^{99} + \dots + a_{99} \cdot 1 + a_{100} = a_0 + a_1 + \dots + a_{100}$.

Приравнивая левую и правую части, получаем, что искомая сумма равна 1.

Ответ: 1.

2) $100 \cdot a_0 + 99 \cdot a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

Обозначим искомую сумму как $S$. Заметим, что эту сумму можно представить в виде $S = (100 a_0 + 99 a_1 + \dots + a_{99}) + a_{100}$.

Выражение в скобках можно найти, используя производную многочлена $P(x) = (x-2)^{100}$. Найдем производную $P'(x)$ двумя способами.

С одной стороны, дифференцируя $P(x)=(x-2)^{100}$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(x-2)^{100} = 100(x-2)^{99}$.

С другой стороны, дифференцируя разложение по степеням $x$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(a_0 x^{100} + a_1 x^{99} + \dots + a_{99} x + a_{100}) = 100a_0x^{99} + 99a_1x^{98} + \dots + a_{99}$.

Подставим $x=1$ в равенство для производных. Это даст нам значение выражения в скобках:

$P'(1) = 100a_0(1)^{99} + 99a_1(1)^{98} + \dots + a_{99} = 100a_0 + 99a_1 + \dots + a_{99}$.

Вычислим значение $P'(1)$, используя первую формулу для производной:

$P'(1) = 100(1-2)^{99} = 100(-1)^{99} = 100(-1) = -100$.

Теперь найдем вторую часть суммы — слагаемое $a_{100}$. Это свободный член многочлена $P(x)$, который можно найти, подставив $x=0$ в исходное равенство.

$a_{100} = P(0) = (0-2)^{100} = (-2)^{100} = 2^{100}$.

Наконец, сложим полученные части, чтобы найти искомую сумму $S$:

$S = (100a_0 + 99a_1 + \dots + a_{99}) + a_{100} = P'(1) + a_{100} = -100 + 2^{100}$.

Ответ: $2^{100} - 100$.

7.44. Известно, что функция $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$. Что можно сказать про каждую из функций $u(x)$ и $v(x)$? Необходимо ли, чтобы каждая из функций $u(x)$ и $v(x)$ не имела производную в точке $x = x_0$?

Исходя из правила дифференцирования произведения, если бы обе функции $u(x)$ и $v(x)$ были дифференцируемы в точке $x = x_0$, то их произведение $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ также было бы дифференцируемо в этой точке. Формула для производной произведения выглядит так: $g'(x_0) = u'(x_0)v(x_0) + u(x_0)v'(x_0)$.

Поскольку по условию задачи функция $g(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$, мы можем заключить, что исходное предположение (о дифференцируемости обеих функций $u(x)$ и $v(x)$) неверно. Это означает, что по крайней мере одна из функций, $u(x)$ или $v(x)$, не является дифференцируемой в точке $x = x_0$.

Далее рассмотрим вопрос, необходимо ли, чтобы каждая из функций $u(x)$ и $v(x)$ не имела производную в точке $x = x_0$. Ответ — нет, это не обязательно. Вполне возможна ситуация, когда одна из функций дифференцируема в точке $x_0$, а другая — нет, но их произведение все равно недифференцируемо.

Чтобы это доказать, приведем контрпример.
Пусть $x_0 = 0$.
Возьмем функцию $u(x) = |x|$, которая не имеет производной в точке $x_0 = 0$.
Возьмем функцию $v(x) = x + 2$, которая дифференцируема в любой точке, включая $x_0 = 0$ (ее производная $v'(x) = 1$).

Их произведение — это функция $g(x) = u(x) \cdot v(x) = |x|(x+2)$. Проверим, существует ли производная этой функции в точке $x_0 = 0$, используя определение производной через односторонние пределы.
$g'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(0+\Delta x) - g(0)}{\Delta x}$.
Так как $g(0) = |0|(0+2) = 0$, получаем:
$g'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|(\Delta x+2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{|\Delta x|}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right)$.

Рассчитаем левый и правый пределы отдельно.
Правосторонний предел (когда $\Delta x \to 0+$):
$\lim_{\Delta x \to 0+} \left(\frac{\Delta x}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right) = \lim_{\Delta x \to 0+} (1 \cdot (\Delta x+2)) = 2$.
Левосторонний предел (когда $\Delta x \to 0-$):
$\lim_{\Delta x \to 0-} \left(\frac{-\Delta x}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right) = \lim_{\Delta x \to 0-} (-1 \cdot (\Delta x+2)) = -2$.

Поскольку односторонние пределы не равны ($2 \ne -1$), производная функции $g(x)$ в точке $x_0 = 0$ не существует. Этот пример показывает, что произведение недифференцируемой функции $u(x)$ и дифференцируемой функции $v(x)$ может быть недифференцируемой функцией. Следовательно, не обязательно, чтобы обе функции не имели производной.

Ответ: Если функция $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$, то можно сделать вывод, что как минимум одна из функций $u(x)$ или $v(x)$ не имеет производной в этой точке. При этом не обязательно, чтобы обе функции $u(x)$ и $v(x)$ были недифференцируемы в точке $x_0$.

7.45. Решите задачу 7.44 относительно функции:

1) $u(x) + v(x)$;

2) $\frac{u(x)}{v(x)}$.

Поскольку условие задачи 7.44 не предоставлено, а задача 7.45 просит решить ее относительно комбинаций функций $u(x)$ и $v(x)$, можно сделать наиболее вероятное предположение, что в задаче 7.44 требовалось найти производную функции. Следовательно, в задаче 7.45 требуется найти производные для суммы и частного двух произвольных дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$.

1) u(x) + v(x)

Для нахождения производной суммы двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$ используется одно из основных правил дифференцирования — правило суммы. Это правило гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных.

Пусть $y(x) = u(x) + v(x)$. Тогда ее производная $y'(x)$ вычисляется по формуле:

$y'(x) = (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

где $u'(x)$ и $v'(x)$ — это производные функций $u(x)$ и $v(x)$ по переменной $x$ соответственно.

Ответ: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

2) $\frac{u(x)}{v(x)}$

Для нахождения производной частного двух дифференцируемых функций $u(x)$ и $v(x)$ (при условии, что $v(x) \neq 0$) используется правило дифференцирования частного (или правило дроби).

Пусть $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. Тогда ее производная $y'(x)$ вычисляется по следующей формуле:

$y'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

где $u'(x)$ и $v'(x)$ — производные функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно. Эта формула применима во всех точках, где обе функции дифференцируемы и знаменатель $v(x)$ не обращается в ноль.

Ответ: $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.