Страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.27.

1) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$;

2) $y = \frac{3x-2}{x+8}$;

3) $y = \frac{3x-2}{x-8}$;

4) $y = \frac{x-1}{x+1}$.

1) Для функции $y = \frac{1+2x}{3-5x}$ необходимо найти производную. Воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, пусть $u(x) = 1+2x$ и $v(x) = 3-5x$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (1+2x)' = 2$

$v'(x) = (3-5x)' = -5$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(3-5x) - (1+2x)(-5)}{(3-5x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{6 - 10x - (-5 - 10x)}{(3-5x)^2} = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3-5x)^2} = \frac{11}{(3-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{11}{(3-5x)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{3x-2}{x+8}$ найдем производную, используя то же правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = 3x-2$ и $v(x) = x+8$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x-2)' = 3$

$v'(x) = (x+8)' = 1$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(x+8) - (3x-2)(1)}{(x+8)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{3x + 24 - 3x + 2}{(x+8)^2} = \frac{26}{(x+8)^2}$

Ответ: $y' = \frac{26}{(x+8)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{3x-2}{x-8}$ найдем производную.

Пусть $u(x) = 3x-2$ и $v(x) = x-8$.

Производные этих функций:

$u'(x) = (3x-2)' = 3$

$v'(x) = (x-8)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3(x-8) - (3x-2)(1)}{(x-8)^2}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$y' = \frac{3x - 24 - 3x + 2}{(x-8)^2} = \frac{-22}{(x-8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{22}{(x-8)^2}$.

4) Для функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ найдем производную.

Пусть $u(x) = x-1$ и $v(x) = x+1$.

Их производные:

$u'(x) = (x-1)' = 1$

$v'(x) = (x+1)' = 1$

Подставим значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$

Упростим полученное выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$.

7.28. 1) $y = 3x^3 - 2x^2 + 1;$

2) $y = 4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1;$

3) $y = 4 + 6x - 3x^4;$

4) $y = (x - 2)^3.$

Для решения задачи найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума для каждой функции. Для этого необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.

1) $y = 3x^3 - 2x^2 + 1$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (3x^3 - 2x^2 + 1)' = 9x^2 - 4x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$9x^2 - 4x = 0$
$x(9x - 4) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/9$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 4/9)$ и $(4/9; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = 9(-1)^2 - 4(-1) = 9+4=13 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (0; 4/9)$, например $x=1/9$, $y'(1/9) = 9(1/9)^2 - 4(1/9) = 1/9 - 4/9 = -3/9 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (4/9; +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = 9(1)^2 - 4(1) = 5 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(0) = 3(0)^3 - 2(0)^2 + 1 = 1$.
- В точке $x=4/9$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(4/9) = 3\left(\frac{4}{9}\right)^3 - 2\left(\frac{4}{9}\right)^2 + 1 = 3 \cdot \frac{64}{729} - 2 \cdot \frac{16}{81} + 1 = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} + 1 = \frac{64 - 96 + 243}{243} = \frac{211}{243}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4/9; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4/9]$. Точка максимума: $(0; 1)$. Точка минимума: $(4/9; 211/243)$.

2) $y = 4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (4x^5 - 4x^4 + x^2 - 1)' = 20x^4 - 16x^3 + 2x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$20x^4 - 16x^3 + 2x = 0$
$2x(10x^3 - 8x^2 + 1) = 0$
Одна критическая точка: $x_1 = 0$. Другие критические точки являются корнями уравнения $10x^3 - 8x^2 + 1 = 0$. Анализ кубического многочлена $P(x) = 10x^3 - 8x^2 + 1$ показывает, что у него есть один действительный корень. Обозначим его $\alpha$. Можно показать, что $\alpha$ находится в интервале $(-0.4; -0.3)$, но точное значение не является рациональным числом.

4. Исследуем знак производной $y' = 2x \cdot P(x)$. Критические точки $x=\alpha$ и $x=0$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; \alpha)$, $(\alpha; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; \alpha)$, имеем $x < 0$ и $P(x) < 0$, поэтому $y' = 2x \cdot P(x) > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (\alpha; 0)$, имеем $x < 0$ и $P(x) > 0$ (так как $\alpha$ - единственный корень $P(x)$), поэтому $y' = 2x \cdot P(x) < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, имеем $x > 0$ и $P(x) > 0$, поэтому $y' = 2x \cdot P(x) > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=\alpha$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(0) = 4(0)^5 - 4(0)^4 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; \alpha]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[\alpha; 0]$, где $\alpha$ - единственный действительный корень уравнения $10x^3 - 8x^2 + 1 = 0$ (приблизительно $\alpha \approx -0.31$). Точка максимума: $(\alpha, 4\alpha^5 - 4\alpha^4 + \alpha^2 - 1)$. Точка минимума: $(0; -1)$.

3) $y = 4 + 6x - 3x^4$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (4 + 6x - 3x^4)' = 6 - 12x^3$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6 - 12x^3 = 0$
$12x^3 = 6$
$x^3 = 1/2$
$x = \sqrt[3]{1/2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; \sqrt[3]{1/2})$ и $(\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$.
- При $x < \sqrt[3]{1/2}$, $x^3 < 1/2$, $12x^3 < 6$, поэтому $y' = 6 - 12x^3 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > \sqrt[3]{1/2}$, $x^3 > 1/2$, $12x^3 > 6$, поэтому $y' = 6 - 12x^3 < 0$. Функция убывает.

5. Определяем точку экстремума.
- В точке $x = \sqrt[3]{1/2}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального (и глобального) максимума.
$y_{max} = y(\sqrt[3]{1/2}) = 4 + 6\sqrt[3]{1/2} - 3(\sqrt[3]{1/2})^4 = 4 + 6\sqrt[3]{1/2} - 3(1/2)\sqrt[3]{1/2} = 4 + (6 - 3/2)\sqrt[3]{1/2} = 4 + \frac{9}{2}\sqrt[3]{1/2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \sqrt[3]{1/2}]$, убывает на промежутке $[\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$. Точка максимума: $(\sqrt[3]{1/2}; 4 + \frac{9}{2}\sqrt[3]{1/2})$.

4) $y = (x-2)^3$

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = ((x-2)^3)' = 3(x-2)^2 \cdot (x-2)' = 3(x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$3(x-2)^2 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$.

4. Исследуем знак производной. Производная $y' = 3(x-2)^2$ неотрицательна для всех $x$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Производная равна нулю только в точке $x=2$.
- При $x < 2$, $y' > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 2$, $y' > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.
Поскольку производная не меняет знак при переходе через критическую точку $x=2$, эта точка не является точкой экстремума. Это точка перегиба.

Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.

7.29. 1) $y = \sqrt{x}(x^2 + 1);$

2) $y = (x^{10} - 1)(x^3 + 3);$

3) $y = x^2\sin x;$

4) $y = (x^2 + x + 1)\cos x;$

5) $y = (x + 1)\operatorname{tg} x;$

6) $y = (x^3 + 1)\operatorname{ctg} x;$

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}(x^2 + 1)$, сначала упростим выражение. Представим корень как степень и раскроем скобки:

$y = x^{1/2}(x^2 + 1) = x^{1/2} \cdot x^2 + x^{1/2} \cdot 1 = x^{2 + 1/2} + x^{1/2} = x^{5/2} + x^{1/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{5/2})' + (x^{1/2})' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Запишем результат в виде выражения с корнями:

$y' = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5x\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2) Для нахождения производной функции $y = (x^{10} - 1)(x^3 + 3)$ сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$y = x^{10} \cdot x^3 + x^{10} \cdot 3 - 1 \cdot x^3 - 1 \cdot 3 = x^{13} + 3x^{10} - x^3 - 3$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции для каждого слагаемого:

$y' = (x^{13})' + (3x^{10})' - (x^3)' - (3)' = 13x^{12} + 3 \cdot 10x^9 - 3x^2 - 0$

$y' = 13x^{12} + 30x^9 - 3x^2$

Ответ: $y' = 13x^{12} + 30x^9 - 3x^2$

3) Функция $y = x^2\sin x$ представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

Ответ: $y' = 2x\sin x + x^2\cos x$

4) Функция $y = (x^2 + x + 1)\cos x$ является произведением двух функций: $u(x) = x^2 + x + 1$ и $v(x) = \cos x$. Применим правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x + 1)\cos x + (x^2 + x + 1)(-\sin x)$

$y' = (2x + 1)\cos x - (x^2 + x + 1)\sin x$

Ответ: $y' = (2x + 1)\cos x - (x^2 + x + 1)\sin x$

5) Для функции $y = (x + 1)\operatorname{tg} x$ используем правило производной произведения. Пусть $u(x) = x + 1$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей. Производная тангенса $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$u' = (x + 1)' = 1$

$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + (x + 1) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x+1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \operatorname{tg} x + \frac{x+1}{\cos^2 x}$

6) Для функции $y = (x^3 + 1)\operatorname{ctg} x$ используем правило производной произведения. Пусть $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$u' = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\operatorname{ctg} x) + (x^3 + 1)\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

$y' = 3x^2\operatorname{ctg} x - \frac{x^3 + 1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = 3x^2\operatorname{ctg} x - \frac{x^3 + 1}{\sin^2 x}$

7.30. 1) $y = x^9 + 2x^6 - \sqrt{x}$;

2) $y = x^{10} + \operatorname{tg} x$;

3) $y = 5x^5 - \sin x$;

4) $y = 5x^6 + \cos x$.

1) Дана функция $y = x^9 + 2x^6 - \sqrt{x}$.
Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и разности функций, которое гласит, что производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных: $(u \pm v)' = u' \pm v'$. Также нам понадобятся формулы производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной постоянного множителя $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ для удобства дифференцирования.
$y' = (x^9 + 2x^6 - x^{1/2})' = (x^9)' + (2x^6)' - (x^{1/2})'$.
Найдем производную каждого слагаемого:
$(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$
$(2x^6)' = 2 \cdot (x^6)' = 2 \cdot 6x^{6-1} = 12x^5$
$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Теперь сложим полученные результаты:
$y' = 9x^8 + 12x^5 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = 9x^8 + 12x^5 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2) Дана функция $y = x^{10} + \operatorname{tg}x$.
Используем правило дифференцирования суммы и табличные производные степенной функции и тангенса.
$y' = (x^{10} + \operatorname{tg}x)' = (x^{10})' + (\operatorname{tg}x)'$.
Производная степенной функции: $(x^{10})' = 10x^{10-1} = 10x^9$.
Производная тангенса: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Складывая эти результаты, получаем:
$y' = 10x^9 + \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = 10x^9 + \frac{1}{\cos^2 x}$

3) Дана функция $y = 5x^5 - \sin x$.
Используем правило дифференцирования разности и табличные производные степенной функции и синуса.
$y' = (5x^5 - \sin x)' = (5x^5)' - (\sin x)'$.
Производная степенной функции с константой: $(5x^5)' = 5 \cdot (x^5)' = 5 \cdot 5x^{5-1} = 25x^4$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Вычитая второе из первого, получаем:
$y' = 25x^4 - \cos x$.
Ответ: $y' = 25x^4 - \cos x$

4) Дана функция $y = 5x^6 + \cos x$.
Применяем правило дифференцирования суммы и табличные производные степенной функции и косинуса.
$y' = (5x^6 + \cos x)' = (5x^6)' + (\cos x)'$.
Производная степенной функции с константой: $(5x^6)' = 5 \cdot (x^6)' = 5 \cdot 6x^{6-1} = 30x^5$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Складывая результаты, получаем:
$y' = 30x^5 + (-\sin x) = 30x^5 - \sin x$.
Ответ: $y' = 30x^5 - \sin x$

7.31. Найдите значение производной функции в указанных точках:

1) $y = 2x^3 - 3x, x = 1, x = 0.5;$

2) $y = 3x + 2\sqrt{x}, x = 0.09, x = 4;$

3) $y = \frac{3}{x} - x, x = -2, x = \frac{1}{3};$

4) $y = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}, x = -1, x = \frac{1}{4}.$

1) Дана функция $y = 2x^3 - 3x$.
Для начала найдем ее производную $y'$, используя правила дифференцирования (производная степенной функции и правило дифференцирования суммы/разности):
$y' = (2x^3 - 3x)' = (2x^3)' - (3x)' = 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} = 6x^2 - 3$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = 1$:
$y'(1) = 6(1)^2 - 3 = 6 \cdot 1 - 3 = 3$.
При $x = 0,5$:
$y'(0,5) = 6(0,5)^2 - 3 = 6(0,25) - 3 = 1,5 - 3 = -1,5$.
Ответ: $y'(1)=3$; $y'(0,5)=-1,5$.

2) Дана функция $y = 3x + 2\sqrt{x}$.
Для нахождения производной удобно представить $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = 3x + 2x^{1/2}$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (3x + 2x^{1/2})' = (3x)' + (2x^{1/2})' = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 3 + x^{-1/2} = 3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = 0,09$:
$y'(0,09) = 3 + \frac{1}{\sqrt{0,09}} = 3 + \frac{1}{0,3} = 3 + \frac{10}{3} = \frac{9}{3} + \frac{10}{3} = \frac{19}{3}$.
При $x = 4$:
$y'(4) = 3 + \frac{1}{\sqrt{4}} = 3 + \frac{1}{2} = 3,5$.
Ответ: $y'(0,09)=\frac{19}{3}$; $y'(4)=3,5$.

3) Дана функция $y = \frac{3}{x} - x$.
Для нахождения производной представим функцию в виде $y = 3x^{-1} - x$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (3x^{-1} - x)' = (3x^{-1})' - (x)' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} - 1 = -3x^{-2} - 1 = -\frac{3}{x^2} - 1$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = -2$:
$y'(-2) = -\frac{3}{(-2)^2} - 1 = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$.
При $x = \frac{1}{3}$:
$y'(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{(\frac{1}{3})^2} - 1 = -\frac{3}{\frac{1}{9}} - 1 = -3 \cdot 9 - 1 = -27 - 1 = -28$.
Ответ: $y'(-2)=-\frac{7}{4}$; $y'(\frac{1}{3})=-28$.

4) Дана функция $y = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.
Для удобства запишем функцию как $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$.
Найдем производную $y'$:
$y' = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = (\frac{1}{2}x^2)' - (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x - x^2$.
Теперь вычислим значение производной в указанных точках.
При $x = -1$:
$y'(-1) = (-1) - (-1)^2 = -1 - 1 = -2$.
При $x = \frac{1}{4}$:
$y'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $y'(-1)=-2$; $y'(\frac{1}{4})=\frac{3}{16}$.

7.32. Найдите корни уравнения $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 7;$

3) $f(x) = 3x - 5x^2;$

4) $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x - 5.$

1) Чтобы найти корни уравнения $f'(x) = 0$, сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 4x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 = x^2 - 4$.
Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Ответ: -2; 2.

2) Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 7$.
$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 7)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Ответ: -1; 3.

3) Найдем производную функции $f(x) = 3x - 5x^2$.
$f'(x) = (3x - 5x^2)' = 3 - 5 \cdot 2x = 3 - 10x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$3 - 10x = 0$
$10x = 3$
$x = \frac{3}{10} = 0.3$.
Ответ: 0.3.

4) Найдем производную функции $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x - 5$.
$f'(x) = (-\frac{2}{3}x^3 + 2x - 5)' = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 2 = -2x^2 + 2$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x^2 + 2 = 0$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Ответ: -1; 1.

7.33. 1) $y = 2x^{1.5}$;

2) $y = x^{-\frac{4}{3}}$;

3) $y = \frac{3}{x}$;

4) $y = -\frac{2}{x^2}$.

1) Дана функция $y = 2x^{1.5}$. Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае, коэффициент $k = 2$ и показатель степени $n = 1.5$.
Применяем формулу:
$y' = (2x^{1.5})' = 2 \cdot 1.5 \cdot x^{1.5 - 1} = 3x^{0.5}$.
Так как $x^{0.5} = x^{1/2} = \sqrt{x}$, то производную можно также записать в виде $3\sqrt{x}$.
Ответ: $y' = 3x^{0.5}$.

2) Дана функция $y = x^{-\frac{4}{3}}$. Это степенная функция, где $n = -\frac{4}{3}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3} \cdot x^{-\frac{4}{3} - 1}$.
Вычислим новый показатель степени: $-\frac{4}{3} - 1 = -\frac{4}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{7}{3}$.
Таким образом, производная равна:
$y' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.

3) Дана функция $y = \frac{3}{x}$. Чтобы найти производную, сначала представим функцию в виде степенной функции.
Используя свойство степеней $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$, получаем:
$y = 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^{-1}$.
Теперь применяем формулу производной $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$, где $k=3$ и $n=-1$.
$y' = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -3x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби:
$y' = -\frac{3}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{x^2}$.

4) Дана функция $y = -\frac{2}{x^2}$. Аналогично предыдущему пункту, представим функцию в виде степенной.
$y = -2 \cdot \frac{1}{x^2} = -2x^{-2}$.
Находим производную по формуле $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$, где $k=-2$ и $n=-2$.
$y' = (-2x^{-2})' = (-2) \cdot (-2) \cdot x^{-2-1} = 4x^{-3}$.
Запишем результат в виде дроби:
$y' = \frac{4}{x^3}$.
Ответ: $y' = \frac{4}{x^3}$.

7.34. 1) $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ ;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ;

3) $y = \sqrt[3]{3x\sqrt{4x}}$ ;

4) $y = \frac{1}{x\sqrt{2x}}$ ;

5) $y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt[3]{x}}$ ;

6) $y = x\sqrt{x^3}$ .

1) Дано выражение $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$.
Преобразуем его, используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и свойства степеней.
Начнем с внутреннего корня: $y = \sqrt{x \cdot x^{1/2}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Получаем: $y = \sqrt{x^{3/2}}$.
Теперь преобразуем внешний корень: $y = (x^{3/2})^{1/2}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $y = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{3/4}$.
Ответ: $y=x^{3/4}$.

2) Дано выражение $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.
Представим корень в знаменателе в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.
Тогда выражение принимает вид: $y = \frac{1}{x^{1/3}}$.
Используя правило для отрицательных степеней $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$, получаем:
$y = x^{-1/3}$.
Ответ: $y=x^{-1/3}$.

3) Дано выражение $y = \sqrt[3]{3x\sqrt{4x}}$.
Упростим выражение под кубическим корнем. Начнем с внутреннего корня: $\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2x^{1/2}$.
Подставим это в выражение: $y = \sqrt[3]{3x \cdot 2x^{1/2}}$.
Перемножим сомножители под корнем: $3x \cdot 2x^{1/2} = 6 \cdot x^1 \cdot x^{1/2} = 6x^{1+1/2} = 6x^{3/2}$.
Теперь выражение имеет вид: $y = \sqrt[3]{6x^{3/2}}$.
Преобразуем кубический корень в степень $1/3$: $y = (6x^{3/2})^{1/3} = 6^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3}$.
Упростим степень переменной $x$: $y = 6^{1/3} \cdot x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 6^{1/3}x^{1/2}$.
Ответ: $y=6^{1/3}x^{1/2}$.

4) Дано выражение $y = \frac{1}{x\sqrt{2x}}$.
Преобразуем знаменатель: $x\sqrt{2x} = x^1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{2} \cdot x^1 \cdot x^{1/2} = \sqrt{2} \cdot x^{1+1/2} = \sqrt{2}x^{3/2}$.
Выражение примет вид: $y = \frac{1}{\sqrt{2}x^{3/2}}$.
Это можно записать как $y = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{x^{3/2}}$.
Используя отрицательные показатели, получим: $y = 2^{-1/2}x^{-3/2}$.
Ответ: $y=2^{-1/2}x^{-3/2}$.

5) Дано выражение $y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt[3]{x}}$.
Представим все части выражения в виде степеней.
Числитель: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Знаменатель: $x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{1/3} = x^{1+1/3} = x^{4/3}$.
Подставим в дробь: $y = \frac{x^{1/2}}{x^{4/3}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $y = x^{\frac{1}{2} - \frac{4}{3}}$.
Вычислим показатель: $\frac{1}{2} - \frac{4}{3} = \frac{3}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{5}{6}$.
Таким образом, $y = x^{-5/6}$.
Ответ: $y = x^{-5/6}$.

6) Дано выражение $y = x\sqrt{x^3}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt{x^3} = (x^3)^{1/2} = x^{3/2}$.
Тогда выражение примет вид: $y = x^1 \cdot x^{3/2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$y = x^{1 + 3/2} = x^{2/2 + 3/2} = x^{5/2}$.
Ответ: $y=x^{5/2}$.

7.35.

1) $y = (x^2 + 1)\sin x$;

2) $y = \frac{3x - 2}{\cos x}$;

3) $y = \frac{\operatorname{tg}x}{x + 1}$;

4) $y = (x^5 + x^2 - 3)\operatorname{ctg}x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^2 + 1)\sin x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 + 1$ и $v(x) = \sin x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$.
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot \cos x = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x$.
Ответ: $y' = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{3x - 2}{\cos x}$ необходимо использовать правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 3x - 2$ и $v(x) = \cos x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (3x - 2)' = (3x)' - (2)' = 3 - 0 = 3$.
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3 \cdot \cos x - (3x - 2)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{3\cos x + (3x - 2)\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3\cos x + 3x\sin x - 2\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{3\cos x + 3x\sin x - 2\sin x}{\cos^2 x}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\tan x}{x + 1}$ необходимо использовать правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = \tan x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$v'(x) = (x + 1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.
Подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot (x + 1) - \tan x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{x + 1}{\cos^2 x} - \tan x}{(x + 1)^2}$.
Для упрощения выражения можно привести числитель к общему знаменателю $\cos^2 x$, используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y' = \frac{\frac{x + 1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - \sin x \cos x}{\cos^2 x (x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x + 1 - \sin x \cos x}{\cos^2 x (x + 1)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = (x^5 + x^2 - 3)\cot x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^5 + x^2 - 3$ и $v(x) = \cot x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^5 + x^2 - 3)' = 5x^4 + 2x$.
$v'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (5x^4 + 2x)\cot x + (x^5 + x^2 - 3)\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = (5x^4 + 2x)\cot x - \frac{x^5 + x^2 - 3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = (5x^4 + 2x)\cot x - \frac{x^5 + x^2 - 3}{\sin^2 x}$.