Номер 7.35, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.35.

1) $y = (x^2 + 1)\sin x$;

2) $y = \frac{3x - 2}{\cos x}$;

3) $y = \frac{\operatorname{tg}x}{x + 1}$;

4) $y = (x^5 + x^2 - 3)\operatorname{ctg}x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x^2 + 1)\sin x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 + 1$ и $v(x) = \sin x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 + 1)' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$.
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot \cos x = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x$.
Ответ: $y' = 2x \sin x + (x^2 + 1) \cos x$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{3x - 2}{\cos x}$ необходимо использовать правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 3x - 2$ и $v(x) = \cos x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (3x - 2)' = (3x)' - (2)' = 3 - 0 = 3$.
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3 \cdot \cos x - (3x - 2)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{3\cos x + (3x - 2)\sin x}{\cos^2 x} = \frac{3\cos x + 3x\sin x - 2\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{3\cos x + 3x\sin x - 2\sin x}{\cos^2 x}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\tan x}{x + 1}$ необходимо использовать правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = \tan x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$v'(x) = (x + 1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.
Подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot (x + 1) - \tan x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{x + 1}{\cos^2 x} - \tan x}{(x + 1)^2}$.
Для упрощения выражения можно привести числитель к общему знаменателю $\cos^2 x$, используя $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y' = \frac{\frac{x + 1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - \sin x \cos x}{\cos^2 x (x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x + 1 - \sin x \cos x}{\cos^2 x (x + 1)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = (x^5 + x^2 - 3)\cot x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^5 + x^2 - 3$ и $v(x) = \cot x$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^5 + x^2 - 3)' = 5x^4 + 2x$.
$v'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (5x^4 + 2x)\cot x + (x^5 + x^2 - 3)\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = (5x^4 + 2x)\cot x - \frac{x^5 + x^2 - 3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = (5x^4 + 2x)\cot x - \frac{x^5 + x^2 - 3}{\sin^2 x}$.