Номер 7.30, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.30. 1) $y = x^9 + 2x^6 - \sqrt{x}$;

2) $y = x^{10} + \operatorname{tg} x$;

3) $y = 5x^5 - \sin x$;

4) $y = 5x^6 + \cos x$.

1) Дана функция $y = x^9 + 2x^6 - \sqrt{x}$.
Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и разности функций, которое гласит, что производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных: $(u \pm v)' = u' \pm v'$. Также нам понадобятся формулы производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной постоянного множителя $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ для удобства дифференцирования.
$y' = (x^9 + 2x^6 - x^{1/2})' = (x^9)' + (2x^6)' - (x^{1/2})'$.
Найдем производную каждого слагаемого:
$(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$
$(2x^6)' = 2 \cdot (x^6)' = 2 \cdot 6x^{6-1} = 12x^5$
$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Теперь сложим полученные результаты:
$y' = 9x^8 + 12x^5 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = 9x^8 + 12x^5 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2) Дана функция $y = x^{10} + \operatorname{tg}x$.
Используем правило дифференцирования суммы и табличные производные степенной функции и тангенса.
$y' = (x^{10} + \operatorname{tg}x)' = (x^{10})' + (\operatorname{tg}x)'$.
Производная степенной функции: $(x^{10})' = 10x^{10-1} = 10x^9$.
Производная тангенса: $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Складывая эти результаты, получаем:
$y' = 10x^9 + \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = 10x^9 + \frac{1}{\cos^2 x}$

3) Дана функция $y = 5x^5 - \sin x$.
Используем правило дифференцирования разности и табличные производные степенной функции и синуса.
$y' = (5x^5 - \sin x)' = (5x^5)' - (\sin x)'$.
Производная степенной функции с константой: $(5x^5)' = 5 \cdot (x^5)' = 5 \cdot 5x^{5-1} = 25x^4$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Вычитая второе из первого, получаем:
$y' = 25x^4 - \cos x$.
Ответ: $y' = 25x^4 - \cos x$

4) Дана функция $y = 5x^6 + \cos x$.
Применяем правило дифференцирования суммы и табличные производные степенной функции и косинуса.
$y' = (5x^6 + \cos x)' = (5x^6)' + (\cos x)'$.
Производная степенной функции с константой: $(5x^6)' = 5 \cdot (x^6)' = 5 \cdot 6x^{6-1} = 30x^5$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Складывая результаты, получаем:
$y' = 30x^5 + (-\sin x) = 30x^5 - \sin x$.
Ответ: $y' = 30x^5 - \sin x$