Номер 7.29, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.29. 1) $y = \sqrt{x}(x^2 + 1);$

2) $y = (x^{10} - 1)(x^3 + 3);$

3) $y = x^2\sin x;$

4) $y = (x^2 + x + 1)\cos x;$

5) $y = (x + 1)\operatorname{tg} x;$

6) $y = (x^3 + 1)\operatorname{ctg} x;$

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}(x^2 + 1)$, сначала упростим выражение. Представим корень как степень и раскроем скобки:

$y = x^{1/2}(x^2 + 1) = x^{1/2} \cdot x^2 + x^{1/2} \cdot 1 = x^{2 + 1/2} + x^{1/2} = x^{5/2} + x^{1/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{5/2})' + (x^{1/2})' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Запишем результат в виде выражения с корнями:

$y' = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5x\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2) Для нахождения производной функции $y = (x^{10} - 1)(x^3 + 3)$ сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$y = x^{10} \cdot x^3 + x^{10} \cdot 3 - 1 \cdot x^3 - 1 \cdot 3 = x^{13} + 3x^{10} - x^3 - 3$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции для каждого слагаемого:

$y' = (x^{13})' + (3x^{10})' - (x^3)' - (3)' = 13x^{12} + 3 \cdot 10x^9 - 3x^2 - 0$

$y' = 13x^{12} + 30x^9 - 3x^2$

Ответ: $y' = 13x^{12} + 30x^9 - 3x^2$

3) Функция $y = x^2\sin x$ представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

Ответ: $y' = 2x\sin x + x^2\cos x$

4) Функция $y = (x^2 + x + 1)\cos x$ является произведением двух функций: $u(x) = x^2 + x + 1$ и $v(x) = \cos x$. Применим правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u' = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x + 1)\cos x + (x^2 + x + 1)(-\sin x)$

$y' = (2x + 1)\cos x - (x^2 + x + 1)\sin x$

Ответ: $y' = (2x + 1)\cos x - (x^2 + x + 1)\sin x$

5) Для функции $y = (x + 1)\operatorname{tg} x$ используем правило производной произведения. Пусть $u(x) = x + 1$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей. Производная тангенса $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$u' = (x + 1)' = 1$

$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + (x + 1) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x+1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \operatorname{tg} x + \frac{x+1}{\cos^2 x}$

6) Для функции $y = (x^3 + 1)\operatorname{ctg} x$ используем правило производной произведения. Пусть $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$u' = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\operatorname{ctg} x) + (x^3 + 1)\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

$y' = 3x^2\operatorname{ctg} x - \frac{x^3 + 1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = 3x^2\operatorname{ctg} x - \frac{x^3 + 1}{\sin^2 x}$