Номер 7.34, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.34. 1) $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ ;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ;

3) $y = \sqrt[3]{3x\sqrt{4x}}$ ;

4) $y = \frac{1}{x\sqrt{2x}}$ ;

5) $y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt[3]{x}}$ ;

6) $y = x\sqrt{x^3}$ .

1) Дано выражение $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$.
Преобразуем его, используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и свойства степеней.
Начнем с внутреннего корня: $y = \sqrt{x \cdot x^{1/2}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Получаем: $y = \sqrt{x^{3/2}}$.
Теперь преобразуем внешний корень: $y = (x^{3/2})^{1/2}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $y = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{3/4}$.
Ответ: $y=x^{3/4}$.

2) Дано выражение $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.
Представим корень в знаменателе в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.
Тогда выражение принимает вид: $y = \frac{1}{x^{1/3}}$.
Используя правило для отрицательных степеней $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$, получаем:
$y = x^{-1/3}$.
Ответ: $y=x^{-1/3}$.

3) Дано выражение $y = \sqrt[3]{3x\sqrt{4x}}$.
Упростим выражение под кубическим корнем. Начнем с внутреннего корня: $\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2x^{1/2}$.
Подставим это в выражение: $y = \sqrt[3]{3x \cdot 2x^{1/2}}$.
Перемножим сомножители под корнем: $3x \cdot 2x^{1/2} = 6 \cdot x^1 \cdot x^{1/2} = 6x^{1+1/2} = 6x^{3/2}$.
Теперь выражение имеет вид: $y = \sqrt[3]{6x^{3/2}}$.
Преобразуем кубический корень в степень $1/3$: $y = (6x^{3/2})^{1/3} = 6^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3}$.
Упростим степень переменной $x$: $y = 6^{1/3} \cdot x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 6^{1/3}x^{1/2}$.
Ответ: $y=6^{1/3}x^{1/2}$.

4) Дано выражение $y = \frac{1}{x\sqrt{2x}}$.
Преобразуем знаменатель: $x\sqrt{2x} = x^1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{2} \cdot x^1 \cdot x^{1/2} = \sqrt{2} \cdot x^{1+1/2} = \sqrt{2}x^{3/2}$.
Выражение примет вид: $y = \frac{1}{\sqrt{2}x^{3/2}}$.
Это можно записать как $y = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{x^{3/2}}$.
Используя отрицательные показатели, получим: $y = 2^{-1/2}x^{-3/2}$.
Ответ: $y=2^{-1/2}x^{-3/2}$.

5) Дано выражение $y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt[3]{x}}$.
Представим все части выражения в виде степеней.
Числитель: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Знаменатель: $x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{1/3} = x^{1+1/3} = x^{4/3}$.
Подставим в дробь: $y = \frac{x^{1/2}}{x^{4/3}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $y = x^{\frac{1}{2} - \frac{4}{3}}$.
Вычислим показатель: $\frac{1}{2} - \frac{4}{3} = \frac{3}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{5}{6}$.
Таким образом, $y = x^{-5/6}$.
Ответ: $y = x^{-5/6}$.

6) Дано выражение $y = x\sqrt{x^3}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt{x^3} = (x^3)^{1/2} = x^{3/2}$.
Тогда выражение примет вид: $y = x^1 \cdot x^{3/2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$y = x^{1 + 3/2} = x^{2/2 + 3/2} = x^{5/2}$.
Ответ: $y=x^{5/2}$.