Номер 7.41, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.41. Используя формулу из предыдущей задачи, найдите производную функции:

1) $y = (2x + 3)^{10};$

2) $y = (3 - 4x)^{8};$

3) $y = \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right);$

4) $y = \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right);$

5) $y = \operatorname{tg} 4x;$

6) $y = (2x - 1)^{6} \cdot (3x + 2)^{4}.$

1) Для функции $y = (2x + 3)^{10}$ используем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, где $f(u) = u^{10}$ — внешняя функция, а $g(x) = 2x + 3$ — внутренняя.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (u^{10})' = 10u^9$.
$g'(x) = (2x + 3)' = 2$.
Подставляем найденные производные в формулу, заменяя $u$ на $g(x)$:
$y' = 10(2x+3)^9 \cdot 2 = 20(2x+3)^9$.
Ответ: $y' = 20(2x+3)^9$.

2) Для функции $y = (3 - 4x)^8$ применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^8$, внутренняя функция $g(x) = 3 - 4x$.
Находим их производные:
$f'(u) = (u^8)' = 8u^7$.
$g'(x) = (3 - 4x)' = -4$.
Собираем производную исходной функции:
$y' = 8(3 - 4x)^7 \cdot (-4) = -32(3 - 4x)^7$.
Ответ: $y' = -32(3 - 4x)^7$.

3) Для функции $y = \sin(3x - \frac{\pi}{3})$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя функция $g(x) = 3x - \frac{\pi}{3}$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{3})' = 3$.
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot 3 = 3\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $y' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

4) Для функции $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$ применяем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})' = \frac{1}{2}$.
Таким образом, производная исходной функции равна:
$y' = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$.

5) Для функции $y = \tan(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \tan(u)$, внутренняя функция $g(x) = 4x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\tan(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x)' = 4$.
Производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)}$.
Ответ: $y' = \frac{4}{\cos^2(4x)}$.

6) Для функции $y = (2x - 1)^6 \cdot (3x + 2)^4$ необходимо использовать правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило производной сложной функции.
Пусть $u(x) = (2x - 1)^6$ и $v(x) = (3x + 2)^4$.
Найдем производные $u'$ и $v'$, используя правило для сложной функции:
$u' = ((2x - 1)^6)' = 6(2x - 1)^5 \cdot (2x - 1)' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2 = 12(2x - 1)^5$.
$v' = ((3x + 2)^4)' = 4(3x + 2)^3 \cdot (3x + 2)' = 4(3x + 2)^3 \cdot 3 = 12(3x + 2)^3$.
Теперь подставим $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^4 + (2x - 1)^6 \cdot 12(3x + 2)^3$.
Для упрощения выражения вынесем общие множители за скобки: $12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3$.
$y' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3 [(3x + 2) + (2x - 1)]$.
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(3x + 2) + (2x - 1) = 5x + 1$.
Получаем окончательное выражение для производной:
$y' = 12(2x - 1)^5 (3x + 2)^3 (5x + 1)$.
Ответ: $y' = 12(5x+1)(2x-1)^5(3x+2)^3$.