Номер 7.43, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.43. Дан многочлен $(x - 2)^{100} = a_0 \cdot x^{100} + a_1 \cdot x^{99} + \dots + a_{99} \cdot x + a_{100}$.

Найдите сумму:

1) $a_0 + a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

2) $100 \cdot a_0 + 99 \cdot a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

1) $a_0 + a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

Пусть дан многочлен $P(x) = (x-2)^{100}$. По условию, его можно записать в виде $P(x) = a_0 x^{100} + a_1 x^{99} + \dots + a_{99} x + a_{100}$.

Сумма коэффициентов любого многочлена равна значению этого многочлена в точке $x=1$. Чтобы найти искомую сумму, подставим $x=1$ в обе части заданного тождества.

Левая часть:

$P(1) = (1-2)^{100} = (-1)^{100} = 1$.

Правая часть:

$P(1) = a_0 \cdot 1^{100} + a_1 \cdot 1^{99} + \dots + a_{99} \cdot 1 + a_{100} = a_0 + a_1 + \dots + a_{100}$.

Приравнивая левую и правую части, получаем, что искомая сумма равна 1.

Ответ: 1.

2) $100 \cdot a_0 + 99 \cdot a_1 + \dots + a_{99} + a_{100}$

Обозначим искомую сумму как $S$. Заметим, что эту сумму можно представить в виде $S = (100 a_0 + 99 a_1 + \dots + a_{99}) + a_{100}$.

Выражение в скобках можно найти, используя производную многочлена $P(x) = (x-2)^{100}$. Найдем производную $P'(x)$ двумя способами.

С одной стороны, дифференцируя $P(x)=(x-2)^{100}$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(x-2)^{100} = 100(x-2)^{99}$.

С другой стороны, дифференцируя разложение по степеням $x$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(a_0 x^{100} + a_1 x^{99} + \dots + a_{99} x + a_{100}) = 100a_0x^{99} + 99a_1x^{98} + \dots + a_{99}$.

Подставим $x=1$ в равенство для производных. Это даст нам значение выражения в скобках:

$P'(1) = 100a_0(1)^{99} + 99a_1(1)^{98} + \dots + a_{99} = 100a_0 + 99a_1 + \dots + a_{99}$.

Вычислим значение $P'(1)$, используя первую формулу для производной:

$P'(1) = 100(1-2)^{99} = 100(-1)^{99} = 100(-1) = -100$.

Теперь найдем вторую часть суммы — слагаемое $a_{100}$. Это свободный член многочлена $P(x)$, который можно найти, подставив $x=0$ в исходное равенство.

$a_{100} = P(0) = (0-2)^{100} = (-2)^{100} = 2^{100}$.

Наконец, сложим полученные части, чтобы найти искомую сумму $S$:

$S = (100a_0 + 99a_1 + \dots + a_{99}) + a_{100} = P'(1) + a_{100} = -100 + 2^{100}$.

Ответ: $2^{100} - 100$.