Номер 7.38, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.38. Решите уравнение $f'(x) = 0:$

1) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4;$

2) $f(x) = x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17.$

1) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4$ сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования (производная суммы, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная константы):

$f'(x) = (\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 4)' = (\frac{x^4}{4})' + (\frac{2x^3}{3})' - (\frac{x^2}{2})' - (2x)' + (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = x^3 + 2x^2 - x - 2$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Ответ: $-2; -1; 1$.

2) Для функции $f(x) = x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17$ найдем ее производную $f'(x)$.

$f'(x) = (x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2 - 16x + 17)' = (x^4)' + (\frac{4x^3}{3})' - (8x^2)' - (16x)' + (17)'$

$f'(x) = 4x^3 + \frac{4}{3} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x - 16 + 0 = 4x^3 + 4x^2 - 16x - 16$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 + 4x^2 - 16x - 16 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + x^2) - (4x + 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x^2 - 4) = 0$

Разложим второй множитель по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-2; -1; 2$.