Номер 7.44, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.44. Известно, что функция $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$. Что можно сказать про каждую из функций $u(x)$ и $v(x)$? Необходимо ли, чтобы каждая из функций $u(x)$ и $v(x)$ не имела производную в точке $x = x_0$?

Исходя из правила дифференцирования произведения, если бы обе функции $u(x)$ и $v(x)$ были дифференцируемы в точке $x = x_0$, то их произведение $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ также было бы дифференцируемо в этой точке. Формула для производной произведения выглядит так: $g'(x_0) = u'(x_0)v(x_0) + u(x_0)v'(x_0)$.

Поскольку по условию задачи функция $g(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$, мы можем заключить, что исходное предположение (о дифференцируемости обеих функций $u(x)$ и $v(x)$) неверно. Это означает, что по крайней мере одна из функций, $u(x)$ или $v(x)$, не является дифференцируемой в точке $x = x_0$.

Далее рассмотрим вопрос, необходимо ли, чтобы каждая из функций $u(x)$ и $v(x)$ не имела производную в точке $x = x_0$. Ответ — нет, это не обязательно. Вполне возможна ситуация, когда одна из функций дифференцируема в точке $x_0$, а другая — нет, но их произведение все равно недифференцируемо.

Чтобы это доказать, приведем контрпример.
Пусть $x_0 = 0$.
Возьмем функцию $u(x) = |x|$, которая не имеет производной в точке $x_0 = 0$.
Возьмем функцию $v(x) = x + 2$, которая дифференцируема в любой точке, включая $x_0 = 0$ (ее производная $v'(x) = 1$).

Их произведение — это функция $g(x) = u(x) \cdot v(x) = |x|(x+2)$. Проверим, существует ли производная этой функции в точке $x_0 = 0$, используя определение производной через односторонние пределы.
$g'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(0+\Delta x) - g(0)}{\Delta x}$.
Так как $g(0) = |0|(0+2) = 0$, получаем:
$g'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|(\Delta x+2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{|\Delta x|}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right)$.

Рассчитаем левый и правый пределы отдельно.
Правосторонний предел (когда $\Delta x \to 0+$):
$\lim_{\Delta x \to 0+} \left(\frac{\Delta x}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right) = \lim_{\Delta x \to 0+} (1 \cdot (\Delta x+2)) = 2$.
Левосторонний предел (когда $\Delta x \to 0-$):
$\lim_{\Delta x \to 0-} \left(\frac{-\Delta x}{\Delta x} \cdot (\Delta x+2)\right) = \lim_{\Delta x \to 0-} (-1 \cdot (\Delta x+2)) = -2$.

Поскольку односторонние пределы не равны ($2 \ne -1$), производная функции $g(x)$ в точке $x_0 = 0$ не существует. Этот пример показывает, что произведение недифференцируемой функции $u(x)$ и дифференцируемой функции $v(x)$ может быть недифференцируемой функцией. Следовательно, не обязательно, чтобы обе функции не имели производной.

Ответ: Если функция $g(x) = u(x) \cdot v(x)$ не имеет производной в точке $x = x_0$, то можно сделать вывод, что как минимум одна из функций $u(x)$ или $v(x)$ не имеет производной в этой точке. При этом не обязательно, чтобы обе функции $u(x)$ и $v(x)$ были недифференцируемы в точке $x_0$.