Номер 7.50, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.50. 1) $y=(2x^2-3)^5;$

2) $y=(4+7x^3)^6;$

3) $y=(2-3x^2)^8;$

4) $y=(1-5x^5)^5.$

1) Дана функция $y = (2x^2 - 3)^5$. Это сложная функция, производную которой находим по правилу дифференцирования сложной функции (правилу цепочки). Если функция имеет вид $y = (u(x))^n$, то ее производная равна $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция с показателем $n=5$, а внутренняя функция — $u(x) = 2x^2 - 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (2x^2 - 3)' = (2x^2)' - (3)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

Теперь подставим все компоненты в формулу производной сложной функции:

$y' = 5 \cdot (2x^2 - 3)^{5-1} \cdot (4x) = 5(2x^2 - 3)^4 \cdot 4x$.

Упростим полученное выражение:

$y' = 20x(2x^2 - 3)^4$.

Ответ: $20x(2x^2 - 3)^4$.

2) Дана функция $y = (4 + 7x^3)^6$. Это сложная функция вида $y = u^6$, где $u = 4 + 7x^3$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь $n=6$ и $u = 4 + 7x^3$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (4 + 7x^3)' = (4)' + (7x^3)' = 0 + 7 \cdot 3x^2 = 21x^2$.

Подставляем найденные значения в формулу производной:

$y' = 6 \cdot (4 + 7x^3)^{6-1} \cdot (21x^2) = 6(4 + 7x^3)^5 \cdot 21x^2$.

Выполняем упрощение:

$y' = 126x^2(4 + 7x^3)^5$.

Ответ: $126x^2(4 + 7x^3)^5$.

3) Дана функция $y = (2 - 3x^2)^8$. Это сложная функция вида $y = u^8$, где $u = 2 - 3x^2$.

Используем формулу производной сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $n=8$ и $u = 2 - 3x^2$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (2 - 3x^2)' = (2)' - (3x^2)' = 0 - 3 \cdot 2x = -6x$.

Теперь можем найти производную исходной функции:

$y' = 8 \cdot (2 - 3x^2)^{8-1} \cdot (-6x) = 8(2 - 3x^2)^7 \cdot (-6x)$.

Упростим выражение:

$y' = -48x(2 - 3x^2)^7$.

Ответ: $-48x(2 - 3x^2)^7$.

4) Дана функция $y = (1 - 5x^5)^5$. Это сложная функция вида $y = u^5$, где $u = 1 - 5x^5$.

Применяем правило цепочки для нахождения производной сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь показатель степени $n=5$ и внутренняя функция $u = 1 - 5x^5$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (1 - 5x^5)' = (1)' - (5x^5)' = 0 - 5 \cdot 5x^4 = -25x^4$.

Подставляем все в формулу производной сложной функции:

$y' = 5 \cdot (1 - 5x^5)^{5-1} \cdot (-25x^4) = 5(1 - 5x^5)^4 \cdot (-25x^4)$.

Упрощаем полученное выражение:

$y' = -125x^4(1 - 5x^5)^4$.

Ответ: $-125x^4(1 - 5x^5)^4$.