Номер 7.52, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.52. 1) $y = \sqrt{9 - 2x^2}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}};

3) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 12}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{9 - 2x^2}$ задается условием, при котором выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство: $9 - 2x^2 \ge 0$. Перенесем $2x^2$ в правую часть: $9 \ge 2x^2$. Разделим обе части на 2: $\frac{9}{2} \ge x^2$, или $x^2 \le \frac{9}{2}$. Это неравенство эквивалентно $|x| \le \sqrt{\frac{9}{2}}$. Упростим корень: $\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $|x| \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$, что соответствует двойному неравенству $-\frac{3\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, областью определения функции является замкнутый промежуток. Ответ: $[-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}]$.

2) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ область определения задается условием, при котором выражение под знаком квадратного корня в знаменателе является строго положительным (поскольку на ноль делить нельзя, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Таким образом, необходимо решить строгое неравенство: $3x + 1 > 0$. Перенесем 1 в правую часть: $3x > -1$. Разделим обе части на 3: $x > -\frac{1}{3}$. Таким образом, областью определения функции является открытый луч. Ответ: $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 7x + 12}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12, откуда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 7x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 7x + 12$ принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является объединение двух промежутков. Ответ: $(-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ находится из условия, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 3x + 2 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2, откуда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Выражение $x^2 - 3x + 2$ принимает положительные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня или правее большего корня, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является объединение двух открытых промежутков. Ответ: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.