Страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как находится производная сложной функции? Поясните ответ на примере.

2. Как находится производная обратной функции? Поясните ответ.

3. Как определяется производная функции высшего порядка?

4. Каков механический смысл второй производной?

1. Как находится производная сложной функции? Поясните ответ на примере.

Производная сложной функции, то есть функции вида $y = f(g(x))$, находится по правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу). Оно гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной.

Формула производной сложной функции:

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Здесь $f(u)$ — внешняя функция, а $u = g(x)$ — внутренняя функция.

Пример: Найдем производную функции $y = \cos(x^3)$.

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции.
Внешняя функция: $f(u) = \cos(u)$, где $u$ — промежуточный аргумент.
Внутренняя функция: $u = g(x) = x^3$.

2. Найдем производные этих функций по отдельности.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Применим цепное правило. Подставим в формулу найденные производные, заменив $u$ обратно на $g(x) = x^3$:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)$.

Ответ: Производная сложной функции находится как произведение производной внешней функции (по ее аргументу) на производную внутренней функции.

2. Как находится производная обратной функции? Поясните ответ.

Если для дифференцируемой функции $y = f(x)$ существует обратная функция $x = g(y)$, и производная $f'(x)$ в некоторой точке $x_0$ не равна нулю ($f'(x_0) \neq 0$), то производная обратной функции в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$ существует и равна величине, обратной производной исходной функции.

Формула для нахождения производной обратной функции:

$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Используя обозначения Лейбница, это можно записать более наглядно:

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

Это означает, что производная обратной функции является обратной величиной (в смысле деления) производной прямой функции.

Пример: Найдем производную функции $y = \ln(x)$.

1. Исходная функция $y = \ln(x)$. Обратная к ней функция — это $x = e^y$.

2. В данном случае $y = f(x) = \ln(x)$, а $x = g(y) = e^y$. Мы хотим найти производную $f'(x)$. Пойдем от обратной функции, производную которой мы знаем.

3. Найдем производную обратной функции $x = g(y) = e^y$ по переменной $y$:

$\frac{dx}{dy} = (e^y)' = e^y$

4. Теперь, используя формулу, найдем производную исходной функции $y = \ln(x)$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{e^y}$

5. Так как нам нужна производная по $x$, выразим результат через $x$. Мы знаем, что $x = e^y$, поэтому подставляем это в знаменатель:

$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Ответ: Производная обратной функции в точке $y$ равна единице, деленной на производную исходной функции в соответствующей точке $x$.

3. Как определяется производная функции высшего порядка?

Производная функции высшего порядка определяется последовательным (повторным) дифференцированием функции.

Пусть дана функция $y = f(x)$.

- Производная первого порядка (или просто производная) — это $f'(x)$.

- Производная второго порядка (или вторая производная) — это производная от производной первого порядка. Она обозначается как $f''(x)$, $y''$ или $\frac{d^2y}{dx^2}$.
$f''(x) = (f'(x))'$

- Производная третьего порядка — это производная от производной второго порядка. Обозначается как $f'''(x)$, $y'''$ или $\frac{d^3y}{dx^3}$.
$f'''(x) = (f''(x))'$

- Производная n-го порядка (где $n$ — натуральное число) — это производная от производной (n-1)-го порядка. Обозначается как $f^{(n)}(x)$, $y^{(n)}$ или $\frac{d^ny}{dx^n}$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$

Таким образом, чтобы найти производную n-го порядка, нужно последовательно продифференцировать функцию $n$ раз.

Ответ: Производная n-го порядка функции определяется как производная от производной (n-1)-го порядка той же функции.

4. Каков механический смысл второй производной?

Механический смысл второй производной связан с описанием движения материальной точки.

Пусть закон движения материальной точки вдоль прямой задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата точки (путь) в момент времени $t$.

- Первая производная от пути по времени, $s'(t)$, представляет собой мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$:
$v(t) = s'(t)$

- Вторая производная от пути по времени, $s''(t)$, является производной от скорости по времени, $v'(t)$. Эта величина показывает, как быстро изменяется скорость движения, и называется мгновенным ускорением.
$a(t) = v'(t) = (s'(t))' = s''(t)$

Таким образом, вторая производная от функции, описывающей положение тела, по времени, есть его мгновенное ускорение.

- Если $s''(t) > 0$, ускорение положительно, и скорость тела возрастает.
- Если $s''(t) < 0$, ускорение отрицательно (тело замедляется).
- Если $s''(t) = 0$, ускорение равно нулю, и тело движется с постоянной скоростью (равномерно).

Ответ: Механический смысл второй производной функции пути по времени ($s''(t)$) — это мгновенное ускорение материальной точки в момент времени $t$.

В упражнениях 7.49–7.52, 7.54–7.59, 7.64–7.67 найдите производные функций.

7.49. 1) $y=(2x-3)^5$; 2) $y=(4+7x)^6$; 3) $y=(2-3x)^8$; 4) $y=(1-5x)^5$.

1) Для нахождения производной функции $y = (2x - 3)^5$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, это частный случай формулы $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Пусть $u = 2x - 3$, тогда $y = u^5$.
Производная внутренней функции: $u' = (2x - 3)' = 2$.
Теперь найдем производную исходной функции:
$y' = ((2x - 3)^5)' = 5 \cdot (2x - 3)^{5-1} \cdot (2x - 3)' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2$.
Упростим выражение:
$y' = 10(2x - 3)^4$.
Ответ: $y' = 10(2x - 3)^4$.

2) Найдем производную функции $y = (4 + 7x)^6$. Используем то же правило для сложной функции.
Пусть $u = 4 + 7x$, тогда $y = u^6$.
Производная внутренней функции: $u' = (4 + 7x)' = 7$.
Находим производную $y'$:
$y' = ((4 + 7x)^6)' = 6 \cdot (4 + 7x)^{6-1} \cdot (4 + 7x)' = 6(4 + 7x)^5 \cdot 7$.
Упростим выражение:
$y' = 42(4 + 7x)^5$.
Ответ: $y' = 42(4 + 7x)^5$.

3) Найдем производную функции $y = (2 - 3x)^8$.
Пусть $u = 2 - 3x$, тогда $y = u^8$.
Производная внутренней функции: $u' = (2 - 3x)' = -3$.
Находим производную $y'$:
$y' = ((2 - 3x)^8)' = 8 \cdot (2 - 3x)^{8-1} \cdot (2 - 3x)' = 8(2 - 3x)^7 \cdot (-3)$.
Упростим выражение:
$y' = -24(2 - 3x)^7$.
Ответ: $y' = -24(2 - 3x)^7$.

4) Найдем производную функции $y = (1 - 5x)^5$.
Пусть $u = 1 - 5x$, тогда $y = u^5$.
Производная внутренней функции: $u' = (1 - 5x)' = -5$.
Находим производную $y'$:
$y' = ((1 - 5x)^5)' = 5 \cdot (1 - 5x)^{5-1} \cdot (1 - 5x)' = 5(1 - 5x)^4 \cdot (-5)$.
Упростим выражение:
$y' = -25(1 - 5x)^4$.
Ответ: $y' = -25(1 - 5x)^4$.

7.50. 1) $y=(2x^2-3)^5;$

2) $y=(4+7x^3)^6;$

3) $y=(2-3x^2)^8;$

4) $y=(1-5x^5)^5.$

1) Дана функция $y = (2x^2 - 3)^5$. Это сложная функция, производную которой находим по правилу дифференцирования сложной функции (правилу цепочки). Если функция имеет вид $y = (u(x))^n$, то ее производная равна $y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция с показателем $n=5$, а внутренняя функция — $u(x) = 2x^2 - 3$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (2x^2 - 3)' = (2x^2)' - (3)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

Теперь подставим все компоненты в формулу производной сложной функции:

$y' = 5 \cdot (2x^2 - 3)^{5-1} \cdot (4x) = 5(2x^2 - 3)^4 \cdot 4x$.

Упростим полученное выражение:

$y' = 20x(2x^2 - 3)^4$.

Ответ: $20x(2x^2 - 3)^4$.

2) Дана функция $y = (4 + 7x^3)^6$. Это сложная функция вида $y = u^6$, где $u = 4 + 7x^3$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь $n=6$ и $u = 4 + 7x^3$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (4 + 7x^3)' = (4)' + (7x^3)' = 0 + 7 \cdot 3x^2 = 21x^2$.

Подставляем найденные значения в формулу производной:

$y' = 6 \cdot (4 + 7x^3)^{6-1} \cdot (21x^2) = 6(4 + 7x^3)^5 \cdot 21x^2$.

Выполняем упрощение:

$y' = 126x^2(4 + 7x^3)^5$.

Ответ: $126x^2(4 + 7x^3)^5$.

3) Дана функция $y = (2 - 3x^2)^8$. Это сложная функция вида $y = u^8$, где $u = 2 - 3x^2$.

Используем формулу производной сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $n=8$ и $u = 2 - 3x^2$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (2 - 3x^2)' = (2)' - (3x^2)' = 0 - 3 \cdot 2x = -6x$.

Теперь можем найти производную исходной функции:

$y' = 8 \cdot (2 - 3x^2)^{8-1} \cdot (-6x) = 8(2 - 3x^2)^7 \cdot (-6x)$.

Упростим выражение:

$y' = -48x(2 - 3x^2)^7$.

Ответ: $-48x(2 - 3x^2)^7$.

4) Дана функция $y = (1 - 5x^5)^5$. Это сложная функция вида $y = u^5$, где $u = 1 - 5x^5$.

Применяем правило цепочки для нахождения производной сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь показатель степени $n=5$ и внутренняя функция $u = 1 - 5x^5$.

Находим производную внутренней функции $u'$:

$u' = (1 - 5x^5)' = (1)' - (5x^5)' = 0 - 5 \cdot 5x^4 = -25x^4$.

Подставляем все в формулу производной сложной функции:

$y' = 5 \cdot (1 - 5x^5)^{5-1} \cdot (-25x^4) = 5(1 - 5x^5)^4 \cdot (-25x^4)$.

Упрощаем полученное выражение:

$y' = -125x^4(1 - 5x^5)^4$.

Ответ: $-125x^4(1 - 5x^5)^4$.

7.51. 1) $y = \sin 3x;$

2) $y = \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right);$

3) $y = \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right);$

4) $y = \operatorname{ctg} \left( 4x + \frac{\pi}{6} \right).$

1) Основной период тригонометрических функций вида $y = A \cdot f(kx + b) + C$ зависит от периода функции $f(x)$ и коэффициента $k$.
Для функции $y = \sin(x)$ основной период равен $2\pi$. Для функции $y = \sin(kx)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В данном случае имеем функцию $y = \sin(3x)$. Здесь коэффициент $k=3$.
Следовательно, период функции равен:$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $T = \frac{2\pi}{3}$.

2) Для функции $y = \cos(x)$ основной период равен $2\pi$. Для функции $y = \cos(kx+b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Сдвиг фазы $b$ не влияет на значение периода.
В данном случае имеем функцию $y = \cos(2x - \frac{\pi}{4})$. Здесь коэффициент $k=2$.
Следовательно, период функции равен:$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $T = \pi$.

3) Для функции $y = \text{tg}(x)$ основной период равен $\pi$. Для функции $y = \text{tg}(kx+b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
В данном случае имеем функцию $y = \text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})$. Здесь коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, период функции равен:$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$.
Ответ: $T = 2\pi$.

4) Для функции $y = \text{ctg}(x)$ основной период равен $\pi$. Для функции $y = \text{ctg}(kx+b)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
В данном случае имеем функцию $y = \text{ctg}(4x + \frac{\pi}{6})$. Здесь коэффициент $k=4$.
Следовательно, период функции равен:$T = \frac{\pi}{|4|} = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $T = \frac{\pi}{4}$.

7.52. 1) $y = \sqrt{9 - 2x^2}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}};

3) $y = \sqrt{x^2 - 7x + 12}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{9 - 2x^2}$ задается условием, при котором выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство: $9 - 2x^2 \ge 0$. Перенесем $2x^2$ в правую часть: $9 \ge 2x^2$. Разделим обе части на 2: $\frac{9}{2} \ge x^2$, или $x^2 \le \frac{9}{2}$. Это неравенство эквивалентно $|x| \le \sqrt{\frac{9}{2}}$. Упростим корень: $\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $|x| \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$, что соответствует двойному неравенству $-\frac{3\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, областью определения функции является замкнутый промежуток. Ответ: $[-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}]$.

2) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ область определения задается условием, при котором выражение под знаком квадратного корня в знаменателе является строго положительным (поскольку на ноль делить нельзя, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Таким образом, необходимо решить строгое неравенство: $3x + 1 > 0$. Перенесем 1 в правую часть: $3x > -1$. Разделим обе части на 3: $x > -\frac{1}{3}$. Таким образом, областью определения функции является открытый луч. Ответ: $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 7x + 12}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12, откуда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 7x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 7x + 12$ принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня или правее большего корня, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является объединение двух промежутков. Ответ: $(-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}$ находится из условия, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 - 3x + 2 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2, откуда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Выражение $x^2 - 3x + 2$ принимает положительные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня или правее большего корня, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является объединение двух открытых промежутков. Ответ: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

7.53. Найдите значение производной в указанной точке:

1) $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$, $x = \frac{\pi}{12}$, $x = -\frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = x - \operatorname{ctg} 3x$, $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{18}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(3x - \frac{\pi}{4})$.

Для нахождения значения производной в указанных точках, сначала найдем общую формулу производной функции $f(x)$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(u)$, а внутренняя функция $h(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Находим их производные:

$g'(u) = (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(u))' = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(u)$.

$h'(x) = (3x - \frac{\pi}{4})' = 3$.

Теперь, по цепному правилу, находим производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x = \frac{\pi}{12}$:

$f'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(0)$.

Так как $\cos(0) = 1$, то:

$f'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

При $x = -\frac{\pi}{6}$:

$f'(-\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(-\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$.

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$f'(-\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} (-\sin(\frac{\pi}{4}))$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$f'(-\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $f'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$; $f'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{3\sqrt{6}}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = x - \ctg(3x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования разности и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (x - \ctg(3x))' = (x)' - (\ctg(3x))'$.

Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.

Для второго слагаемого $(\ctg(3x))'$ используем цепное правило. Производная котангенса $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.

$(\ctg(3x))' = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2(3x)}$.

Таким образом, производная исходной функции:

$f'(x) = 1 - (-\frac{3}{\sin^2(3x)}) = 1 + \frac{3}{\sin^2(3x)}$.

Теперь найдем значения производной в указанных точках.

При $x = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{3}{\sin^2(3 \cdot \frac{\pi}{4})} = 1 + \frac{3}{\sin^2(\frac{3\pi}{4})}$.

Так как $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\sin^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{3}{1/2} = 1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$.

При $x = \frac{\pi}{18}$:

$f'(\frac{\pi}{18}) = 1 + \frac{3}{\sin^2(3 \cdot \frac{\pi}{18})} = 1 + \frac{3}{\sin^2(\frac{3\pi}{18})} = 1 + \frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

$f'(\frac{\pi}{18}) = 1 + \frac{3}{1/4} = 1 + 3 \cdot 4 = 1 + 12 = 13$.

Ответ: $f'(\frac{\pi}{4}) = 7$; $f'(\frac{\pi}{18}) = 13$.