Страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.63. Даны функции $f(x) = \text{ctg} x$, $g(x) = \sqrt{x}$ и $u(x) = \text{arctg} x$. Задайте формулой сложную функцию $F(x)$ и найдите $F'(x)$:

1) $F(x) = f(u(x))$;

2) $F(x) = g(u(x))$;

3) $F(x) = u(f(x))$;

4) $F(x) = u(g(x))$.

1) F(x) = f(u(x));

Сначала зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $f(x)$:
$F(x) = f(u(x)) = \text{ctg}(u(x)) = \text{ctg}(\text{arctg}\,x)$.

Используя тригонометрическое тождество $\text{ctg}(\text{arctg}\,x) = 1/x$, мы можем упростить выражение для $F(x)$:
$F(x) = 1/x$.

Теперь найдем производную $F'(x)$ от упрощенной функции:
$F'(x) = (1/x)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{x}$, $F'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

2) F(x) = g(u(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $u(x)$ в $g(x)$:
$F(x) = g(u(x)) = \sqrt{u(x)} = \sqrt{\text{arctg}\,x}$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(h(v(x)))' = h'(v(x)) \cdot v'(x)$.
В нашем случае внешняя функция $h(v) = \sqrt{v}$ и внутренняя функция $v(x) = \text{arctg}\,x$.
Их производные равны: $h'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$ и $v'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

$F'(x) = (\sqrt{\text{arctg}\,x})' = \frac{1}{2\sqrt{\text{arctg}\,x}} \cdot (\text{arctg}\,x)' = \frac{1}{2\sqrt{\text{arctg}\,x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$.

$F'(x) = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\text{arctg}\,x}}$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{\text{arctg}\,x}$, $F'(x) = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\text{arctg}\,x}}$.

3) F(x) = u(f(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $f(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(f(x)) = \text{arctg}(f(x)) = \text{arctg}(\text{ctg}\,x)$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем цепное правило.
Внешняя функция $u(f) = \text{arctg}\,f$, внутренняя функция $f(x) = \text{ctg}\,x$.
Их производные: $u'(f) = \frac{1}{1+f^2}$ и $f'(x) = -\frac{1}{\sin^2x}$.

$F'(x) = (\text{arctg}(\text{ctg}\,x))' = \frac{1}{1+(\text{ctg}\,x)^2} \cdot (\text{ctg}\,x)' = \frac{1}{1+\text{ctg}^2x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$, упростим выражение:
$F'(x) = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right) = \sin^2x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2x}\right) = -1$.

Ответ: $F(x) = \text{arctg}(\text{ctg}\,x)$, $F'(x) = -1$.

4) F(x) = u(g(x));

Зададим сложную функцию $F(x)$, подставив $g(x)$ в $u(x)$:
$F(x) = u(g(x)) = \text{arctg}(g(x)) = \text{arctg}(\sqrt{x})$.

Для нахождения производной $F'(x)$ используем цепное правило.
Внешняя функция $u(g) = \text{arctg}\,g$, внутренняя функция $g(x) = \sqrt{x}$.
Их производные: $u'(g) = \frac{1}{1+g^2}$ и $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$F'(x) = (\text{arctg}(\sqrt{x}))' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $F(x) = \text{arctg}(\sqrt{x})$, $F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

7.64. 1) $y = \sqrt{4 + \sin^2 x};$

2) $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x};$

3) $y = 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x};$

4) $y = 2 - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}.$

1) Найдем область значений функции $y = \sqrt{4 + \sin^2 x}$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем область значений для $\sin^2 x$: $0 \le \sin^2 x \le 1$.

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 0 \le 4 + \sin^2 x \le 4 + 1$

$4 \le 4 + \sin^2 x \le 5$

Теперь извлечем квадратный корень из всех частей неравенства. Так как все части положительны, знак неравенства сохраняется:

$\sqrt{4} \le \sqrt{4 + \sin^2 x} \le \sqrt{5}$

$2 \le y \le \sqrt{5}$

Таким образом, область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[2; \sqrt{5}]$.

Ответ: $E(y) = [2; \sqrt{5}]$

2) Найдем область значений функции $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Тангенс не определен, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим поведение функции. Найдем ее наименьшее значение. Выражение $\operatorname{tg}^2 x$ принимает наименьшее значение 0 при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin^2 x = \sin^2(\pi k) = 0$.

Подставим эти значения в функцию:

$y_{min} = \sin^2(\pi k) + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2(\pi k)} = 0^2 + \sqrt{1 + 2 \cdot 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 1.

Теперь рассмотрим, как ведет себя функция, когда $x$ приближается к значениям, где тангенс не определен, например, к $\frac{\pi}{2}$.

При $x \to \frac{\pi}{2}$, имеем:

$\sin^2 x \to 1$

$\operatorname{tg}^2 x \to +\infty$

Тогда $\sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x} \to +\infty$.

Следовательно, $y = \sin^2 x + \sqrt{1 + 2\operatorname{tg}^2 x} \to 1 + (+\infty) = +\infty$.

Функция непрерывна на своей области определения, принимает минимальное значение 1 и может принимать сколь угодно большие значения. Значит, область значений функции — это луч $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$

3) Найдем область значений функции $y = 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x}$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Возведя в квадрат, получаем область значений для $\cos^2 x$: $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 + 0 \le 1 + \cos^2 x \le 1 + 1$

$1 \le 1 + \cos^2 x \le 2$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{1} \le \sqrt{1 + \cos^2 x} \le \sqrt{2}$

$1 \le \sqrt{1 + \cos^2 x} \le \sqrt{2}$

Наконец, прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 1 \le 4 + \sqrt{1 + \cos^2 x} \le 4 + \sqrt{2}$

$5 \le y \le 4 + \sqrt{2}$

Таким образом, область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[5; 4 + \sqrt{2}]$.

Ответ: $E(y) = [5; 4 + \sqrt{2}]$

4) Найдем область значений функции $y = 2 - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$.

Сначала определим ОДЗ. Во-первых, котангенс не определен при $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Во-вторых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\operatorname{ctg}^2 x - 1 \ge 0$

$\operatorname{ctg}^2 x \ge 1$

Это неравенство выполняется, когда $|\operatorname{ctg} x| \ge 1$.

Теперь найдем область значений. Пусть $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$.

Так как $\operatorname{ctg}^2 x \ge 1$, то $\operatorname{ctg}^2 x - 1 \ge 0$. Следовательно, $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1} \ge \sqrt{1-1} = 0$. То есть $z \ge 0$.

Наша функция принимает вид $y = 2 - z$, где $z \ge 0$.

Когда $z$ принимает свое наименьшее значение, $z = 0$ (это происходит, когда $\operatorname{ctg}^2 x = 1$), функция $y$ принимает свое наибольшее значение:

$y_{max} = 2 - 0 = 2$.

Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x$ может принимать сколь угодно большие значения (например, при $x \to \pi k$), то $z = \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x - 1}$ также может принимать сколь угодно большие значения. Когда $z \to +\infty$, $y = 2 - z \to -\infty$.

Таким образом, функция принимает значения от $-\infty$ до 2 включительно. Область значений — это луч $(-\infty; 2]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$

7.65.

1) $y = \sin \sqrt{x} \cdot \cos (x^2 + 1);$

2) $y = \operatorname{tg} \sqrt{x} \cdot \sin (x + 4);$

3) $y = \frac{2x^2 + 1}{\cos (2x - 1)};$

4) $y = \frac{\operatorname{ctg} \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}.$

1) Для нахождения производной функции $y = \sin\sqrt{x} \cdot \cos(x^2 + 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sin\sqrt{x}$ и $v(x) = \cos(x^2 + 1)$.

Найдем производную $u(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (\sin\sqrt{x})' = \cos\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = \cos\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v(x)$, также по правилу дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\cos(x^2 + 1))' = -\sin(x^2 + 1) \cdot (x^2 + 1)' = -\sin(x^2 + 1) \cdot 2x = -2x\sin(x^2 + 1)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = \frac{\cos\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \cdot \cos(x^2 + 1) + \sin\sqrt{x} \cdot (-2x\sin(x^2 + 1))$.

Упростим выражение:

$y' = \frac{\cos\sqrt{x} \cos(x^2 + 1)}{2\sqrt{x}} - 2x\sin\sqrt{x}\sin(x^2 + 1)$.

Ответ: $y' = \frac{\cos\sqrt{x} \cos(x^2 + 1)}{2\sqrt{x}} - 2x\sin\sqrt{x}\sin(x^2 + 1)$.

2) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{tg}\sqrt{x} \cdot \sin(x + 4)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \operatorname{tg}\sqrt{x}$ и $v(x) = \sin(x + 4)$.

Найдем производную $u(x)$ как производную сложной функции:

$u'(x) = (\operatorname{tg}\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\cos^2\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v(x)$:

$v'(x) = (\sin(x + 4))' = \cos(x + 4) \cdot (x + 4)' = \cos(x + 4) \cdot 1 = \cos(x + 4)$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}} \cdot \sin(x + 4) + \operatorname{tg}\sqrt{x} \cdot \cos(x + 4)$.

$y' = \frac{\sin(x + 4)}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}} + \operatorname{tg}\sqrt{x}\cos(x + 4)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(x + 4)}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}} + \operatorname{tg}\sqrt{x}\cos(x + 4)$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{2x^2 + 1}{\cos(2x - 1)}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x^2 + 1$ и $v(x) = \cos(2x - 1)$.

Найдем производную числителя $u(x)$:

$u'(x) = (2x^2 + 1)' = 4x$.

Найдем производную знаменателя $v(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\cos(2x - 1))' = -\sin(2x - 1) \cdot (2x - 1)' = -\sin(2x - 1) \cdot 2 = -2\sin(2x - 1)$.

Подставим все в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{4x \cdot \cos(2x - 1) - (2x^2 + 1) \cdot (-2\sin(2x - 1))}{(\cos(2x - 1))^2}$.

Упростим числитель:

$y' = \frac{4x\cos(2x - 1) + 2(2x^2 + 1)\sin(2x - 1)}{\cos^2(2x - 1)}$.

Ответ: $y' = \frac{4x\cos(2x - 1) + 2(2x^2 + 1)\sin(2x - 1)}{\cos^2(2x - 1)}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{\operatorname{ctg}\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \operatorname{ctg}\sqrt{x^2 + 1}$ и $v(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

Найдем производную числителя $u(x)$, используя цепное правило (производная сложной функции):

$u'(x) = (\operatorname{ctg}\sqrt{x^2 + 1})' = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{x^2 + 1})} \cdot (\sqrt{x^2 + 1})'$.

Производная внутреннего выражения: $(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Следовательно, $u'(x) = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{x^2 + 1})} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}\sin^2(\sqrt{x^2 + 1})}$.

Найдем производную знаменателя $v(x)$:

$v'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Квадрат знаменателя: $v^2 = (\sqrt{x^2 - 1})^2 = x^2 - 1$.

Подставим все компоненты в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left(-\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}\sin^2(\sqrt{x^2 + 1})}\right) \cdot \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{ctg}\sqrt{x^2 + 1} \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)}{x^2 - 1}$.

Ответ: $y' = \frac{-\frac{x\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 + 1}\sin^2(\sqrt{x^2 + 1})} - \frac{x\operatorname{ctg}\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2 - 1}$.

7.66. 1) $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{\arcsin x}$;

2) $y = \frac{1 + x^2}{\text{arctg}x}$;

3) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\arccos \frac{x}{2}}$;

4) $y = \frac{9 + x^2}{\text{arcctg} \frac{x}{3}}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\arcsin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $v(x) = \arcsin x$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = ((1-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

$v'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:

$y' = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) \cdot \arcsin x - \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2}$.

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{-\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} - 1}{(\arcsin x)^2} = \frac{\frac{-x \arcsin x - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2} = \frac{-x \arcsin x - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2} = -\frac{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}(\arcsin x)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{1+x^2}{\text{arctg}\,x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1+x^2$ и $v(x) = \text{arctg}\,x$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (1+x^2)' = 2x$.

$v'(x) = (\text{arctg}\,x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{2x \cdot \text{arctg}\,x - (1+x^2) \cdot \frac{1}{1+x^2}}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

Упростим выражение:

$y' = \frac{2x \text{arctg}\,x - 1}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x \text{arctg}\,x - 1}{(\text{arctg}\,x)^2}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\arccos \frac{x}{2}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \sqrt{4-x^2}$ и $v(x) = \arccos \frac{x}{2}$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{4-x^2})' = ((4-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\arccos \frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:

$y' = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}) \cdot \arccos \frac{x}{2} - \sqrt{4-x^2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}})}{(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{-\frac{x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}} + 1}{(\arccos \frac{x}{2})^2} = \frac{\frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}}}{(\arccos \frac{x}{2})^2} = \frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

Ответ: $y' = \frac{\sqrt{4-x^2} - x \arccos \frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^2}(\arccos \frac{x}{2})^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{9+x^2}{\text{arccotg} \frac{x}{3}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 9+x^2$ и $v(x) = \text{arccotg} \frac{x}{3}$.

Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (9+x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции:

$v'(x) = (\text{arccotg} \frac{x}{3})' = -\frac{1}{1 + (\frac{x}{3})^2} \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{9}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{\frac{9+x^2}{9}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{9}{9+x^2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{3}{9+x^2}$.

Подставим производные в формулу:

$y' = \frac{2x \cdot \text{arccotg} \frac{x}{3} - (9+x^2) \cdot (-\frac{3}{9+x^2})}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.

Упростим выражение:

$y' = \frac{2x \text{arccotg} \frac{x}{3} + 3}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x \text{arccotg} \frac{x}{3} + 3}{(\text{arccotg} \frac{x}{3})^2}$.

7.67. 1) $y = \sqrt{1-\sqrt{x}} ;$

2) $y = \sqrt{x+\sqrt{x}} ;$

3) $y = x \cdot \sqrt{1+x^2} ;$

4) $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} ;$

5) $y = \frac{x}{x-\sqrt{x^2-4}} ;$

6) $y = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^5 .$

1) Для функции $y = \sqrt{1-\sqrt{x}}$ найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Представим функцию в виде $y = f(g(x))$, где $f(u) = \sqrt{u}$ и $g(x) = 1-\sqrt{x}$. Производная сложной функции равна $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Найдем производную внешней функции $f(u)$: $f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Подставив $g(x)$, получаем $f'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{1-\sqrt{x}}}$.
Найдем производную внутренней функции $g(x)$: $g'(x) = (1-\sqrt{x})' = (1)' - (x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Перемножим результаты: $y' = \frac{1}{2\sqrt{1-\sqrt{x}}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1-\sqrt{x}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{4\sqrt{x(1-\sqrt{x})}}$

2) Для функции $y = \sqrt{x+\sqrt{x}}$ используем цепное правило. Пусть $u = x+\sqrt{x}$, тогда $y = \sqrt{u}$. Производная $y'_{x} = y'_{u} \cdot u'_{x}$.
$y'_{u} = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.
$u'_{x} = (x+\sqrt{x})' = (x)' + (\sqrt{x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}$.
Перемножим производные: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.
Ответ: $y' = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x(x+\sqrt{x})}}$

3) Для функции $y = x \cdot \sqrt{1+x^2}$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u=x$ и $v=\sqrt{1+x^2}$.
$u' = (x)' = 1$.
Для нахождения $v'$ используем цепное правило. Пусть $w = 1+x^2$, тогда $v=\sqrt{w}$. $v' = (\sqrt{w})'_{w} \cdot w'_{x} = \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
Применим правило произведения: $y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$.
Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{(\sqrt{1+x^2})^2 + x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

4) Для функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u=\sqrt{1-x^2}$ и $v=x$.
$v' = (x)' = 1$.
Для нахождения $u'$ используем цепное правило: $u' = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Применим правило частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) \cdot x - \sqrt{1-x^2} \cdot 1}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$.
Приведем числитель к общему знаменателю: $y' = \frac{\frac{-x^2 - (1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}}{x^2} = \frac{-x^2 - 1 + x^2}{x^2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$

5) Для функции $y = \frac{x}{x - \sqrt{x^2-4}}$ сначала упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $x + \sqrt{x^2-4}$: $y = \frac{x(x + \sqrt{x^2-4})}{(x - \sqrt{x^2-4})(x + \sqrt{x^2-4})} = \frac{x^2 + x\sqrt{x^2-4}}{x^2 - (x^2-4)} = \frac{x^2 + x\sqrt{x^2-4}}{4}$.
Теперь дифференцируем полученное выражение: $y' = \left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x\sqrt{x^2-4}\right)' = \frac{1}{4}(x^2)' + \frac{1}{4}(x\sqrt{x^2-4})'$.
$\frac{1}{4}(x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 2x = \frac{x}{2}$.
Для $(x\sqrt{x^2-4})'$ используем правило произведения: $(x)'\sqrt{x^2-4} + x(\sqrt{x^2-4})' = 1 \cdot \sqrt{x^2-4} + x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} = \sqrt{x^2-4} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{2x^2-4}{\sqrt{x^2-4}}$.
Собираем все вместе: $y' = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x^2-4}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{x}{2} + \frac{x^2-2}{2\sqrt{x^2-4}}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $y' = \frac{x\sqrt{x^2-4} + x^2-2}{2\sqrt{x^2-4}}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-2+x\sqrt{x^2-4}}{2\sqrt{x^2-4}}$

6) Для функции $y = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^5$ используем цепное правило. Пусть $u = \frac{x^2}{3x-1}$, тогда $y=u^5$. Производная $y'_{x} = y'_{u} \cdot u'_{x} = 5u^4 \cdot u'$.
Найдем $u'$ по правилу дифференцирования частного: $u' = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)' = \frac{(x^2)'(3x-1) - x^2(3x-1)'}{(3x-1)^2} = \frac{2x(3x-1) - x^2(3)}{(3x-1)^2} = \frac{6x^2-2x-3x^2}{(3x-1)^2} = \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2}$.
Теперь подставим $u$ и $u'$ в формулу для $y'$: $y' = 5\left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^4 \cdot \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2} = 5 \frac{x^8}{(3x-1)^4} \cdot \frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2}$.
Упростим выражение: $y' = \frac{5x^8 \cdot x(3x-2)}{(3x-1)^{4+2}} = \frac{5x^9(3x-2)}{(3x-1)^6}$.
Ответ: $y' = \frac{5x^9(3x-2)}{(3x-1)^6}$

7.68. Найдите коэффициент при $x$ в составе многочлена:

1) $(2 + x^2)^7$;

2) $(1 - 2x + x^2)^8$;

3) $(2 + x - x^2)^{10}$;

4) $(x^3 + x^2 + x + 1)^5$.

1) Для нахождения коэффициента при $x$ в многочлене $(2 + x^2)^7$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. В нашем случае $a=2$, $b=x^2$ и $n=7$. Общий член разложения имеет вид: $T_{k+1} = C_7^k (2)^{7-k} (x^2)^k = C_7^k 2^{7-k} x^{2k}$. Мы ищем член с $x^1$. Для этого степень $x$ должна быть равна 1, то есть $2k=1$. Отсюда $k=1/2$. Так как $k$ должно быть целым числом ($0 \le k \le 7$), то такого члена в разложении нет. Это также можно понять из того, что при возведении в степень выражения $(2+x^2)$ все степени $x$ будут четными. Коэффициент при $x$ равен 0.
Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $(1 - 2x + x^2)^8$. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: $1 - 2x + x^2 = (1 - x)^2$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $((1 - x)^2)^8 = (1 - x)^{16}$. Теперь найдем коэффициент при $x$ в разложении $(1 - x)^{16}$ по формуле бинома Ньютона. Общий член разложения $(a+b)^n$ равен $C_n^k a^{n-k}b^k$. В нашем случае $a=1$, $b=-x$ и $n=16$. Член разложения с $x^1$ соответствует $k=1$. Он равен $C_{16}^1 (1)^{15} (-x)^1 = \frac{16!}{1!(16-1)!} \cdot (-x) = 16 \cdot (-x) = -16x$. Следовательно, искомый коэффициент равен -16.
Ответ: -16

3) Для многочлена $(2 + x - x^2)^{10}$ воспользуемся формулой полиномиального разложения $(a+b+c)^n = \sum_{k_1+k_2+k_3=n} \frac{n!}{k_1! k_2! k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}$. Здесь $a=2$, $b=x$, $c=-x^2$ и $n=10$. Общий член разложения имеет вид $\frac{10!}{k_1! k_2! k_3!} (2)^{k_1} (x)^{k_2} (-x^2)^{k_3} = \frac{10!}{k_1! k_2! k_3!} 2^{k_1} (-1)^{k_3} x^{k_2+2k_3}$, где $k_1, k_2, k_3$ — неотрицательные целые числа, и $k_1+k_2+k_3=10$. Мы ищем коэффициент при $x^1$, поэтому нам нужно, чтобы выполнялось условие $k_2+2k_3=1$. Учитывая, что $k_2$ и $k_3$ — неотрицательные целые числа, единственное возможное решение этого уравнения — это $k_2=1$ и $k_3=0$. Подставив эти значения в условие $k_1+k_2+k_3=10$, получаем $k_1+1+0=10$, откуда $k_1=9$. Таким образом, существует только один набор $(k_1, k_2, k_3)=(9, 1, 0)$, который дает член с $x^1$. Коэффициент этого члена равен $\frac{10!}{9! \cdot 1! \cdot 0!} \cdot 2^9 \cdot (-1)^0 = 10 \cdot 512 \cdot 1 = 5120$.
Ответ: 5120

4) Рассмотрим многочлен $(x^3 + x^2 + x + 1)^5$. Выражение в скобках можно разложить на множители: $x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$. Таким образом, исходное выражение равно $((x+1)(x^2+1))^5 = (x+1)^5 (x^2+1)^5$. Нам нужно найти коэффициент при $x^1$ в произведении двух многочленов. Разложим каждый из них по биному Ньютона.
Разложение $(x+1)^5$: $C_5^0x^0 + C_5^1x^1 + C_5^2x^2 + \dots = 1 + 5x + 10x^2 + \dots$
Разложение $(x^2+1)^5$: $C_5^0(x^2)^0 + C_5^1(x^2)^1 + \dots = 1 + 5x^2 + 10x^4 + \dots$
Член с $x^1$ в произведении $(1 + 5x + \dots)(1 + 5x^2 + \dots)$ получается путем перемножения члена с $x^1$ из первого многочлена на свободный член второго и свободного члена первого на член с $x^1$ второго.
Коэффициент при $x^1$ в $(x+1)^5$ равен $C_5^1=5$. Свободный член в $(x^2+1)^5$ равен $C_5^0=1$. Их произведение дает вклад $5 \cdot 1 = 5$.
Свободный член в $(x+1)^5$ равен $C_5^0=1$. В разложении $(x^2+1)^5$ присутствуют только четные степени $x$, поэтому коэффициент при $x^1$ равен 0. Их произведение дает вклад $1 \cdot 0 = 0$.
Суммарный коэффициент при $x^1$ равен $5 + 0 = 5$.
Ответ: 5

7.69. Чему равна производная 300-го порядка функции:

1) $(7 + x^2)^{100};$

2) $(8 - 3x^2)^{149};$

3) $\cos 3x$

4) $\sin \frac{x}{2}; ?$

1) Заданная функция $y = (7 + x^2)^{100}$ является многочленом. Чтобы найти его степень, раскроем скобки по формуле бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. В нашем случае $a=7$, $b=x^2$, $n=100$. $(7+x^2)^{100} = \binom{100}{0} \cdot 7^{100} \cdot (x^2)^0 + \binom{100}{1} \cdot 7^{99} \cdot (x^2)^1 + \dots + \binom{100}{100} \cdot 7^0 \cdot (x^2)^{100}$. Старшая степень переменной $x$ в этом разложении равна $2 \cdot 100 = 200$. Таким образом, мы имеем дело с многочленом 200-й степени. Производная любого многочлена степени $m$ порядка $n$, где $n > m$, равна нулю. В нашем случае степень многочлена $m=200$, а порядок производной $n=300$. Так как $300 > 200$, то производная 300-го порядка от данной функции равна нулю.
Ответ: 0.

2) Функция $y = (8 - 3x^2)^{149}$ также является многочленом. Найдем его степень. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Здесь $a=8$, $b=-3x^2$, $n=149$. $(8 - 3x^2)^{149} = \sum_{k=0}^{149} \binom{149}{k} \cdot 8^{149-k} \cdot (-3x^2)^k$. Старшая степень переменной $x$ в этом разложении будет при $k=149$, и она равна $2 \cdot 149 = 298$. Таким образом, это многочлен 298-й степени. Мы ищем производную 300-го порядка. Поскольку порядок производной $n=300$ больше, чем степень многочлена $m=298$, производная будет равна нулю.
Ответ: 0.

3) Для нахождения производной $n$-го порядка от функции $y = \cos(ax)$ используется формула: $y^{(n)} = a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$. В нашем случае $y = \cos(3x)$, значит $a=3$. Мы ищем производную 300-го порядка, то есть $n=300$. Подставим значения в формулу: $y^{(300)} = 3^{300} \cos(3x + \frac{300\pi}{2})$. Упростим выражение в аргументе косинуса: $\frac{300\pi}{2} = 150\pi$. Так как косинус — функция периодическая с периодом $2\pi$, то $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ для любого целого $k$. В нашем случае $150\pi = 75 \cdot 2\pi$, что является целым числом периодов. Следовательно, $\cos(3x + 150\pi) = \cos(3x)$. Таким образом, производная 300-го порядка равна: $y^{(300)} = 3^{300} \cos(3x)$.
Ответ: $3^{300} \cos(3x)$.

4) Для нахождения производной $n$-го порядка от функции $y = \sin(ax)$ используется формула: $y^{(n)} = a^n \sin(ax + \frac{n\pi}{2})$. В нашей задаче $y = \sin(\frac{x}{2})$, значит $a=\frac{1}{2}$. Мы ищем производную 300-го порядка, то есть $n=300$. Подставим значения в формулу: $y^{(300)} = (\frac{1}{2})^{300} \sin(\frac{x}{2} + \frac{300\pi}{2})$. Упростим аргумент синуса: $\frac{300\pi}{2} = 150\pi$. Синус также является периодической функцией с периодом $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ для любого целого $k$. Так как $150\pi = 75 \cdot 2\pi$, то $\sin(\frac{x}{2} + 150\pi) = \sin(\frac{x}{2})$. В результате получаем: $y^{(300)} = (\frac{1}{2})^{300} \sin(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2^{300}} \sin(\frac{x}{2})$.
Ответ: $\frac{1}{2^{300}} \sin(\frac{x}{2})$.

7.70. Найдите производную 3-го порядка функции:

1) $(x-1)^{-1}$;

2) $(2x-1)^{100}$;

3) $\sin(3x-2)$;

4) $\cos(ax+b)$.

1) $y = (x-1)^{-1}$

Для нахождения производной 3-го порядка необходимо последовательно найти производные первого, второго и третьего порядков.

Находим первую производную, используя формулу производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$y' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -(x-1)^{-2}$.

Теперь находим вторую производную, дифференцируя первую производную:

$y'' = (-(x-1)^{-2})' = -(-2) \cdot (x-1)^{-2-1} \cdot (x-1)' = 2 \cdot (x-1)^{-3} \cdot 1 = 2(x-1)^{-3}$.

Наконец, находим третью производную, дифференцируя вторую производную:

$y''' = (2(x-1)^{-3})' = 2 \cdot (-3) \cdot (x-1)^{-3-1} \cdot (x-1)' = -6 \cdot (x-1)^{-4} \cdot 1 = -6(x-1)^{-4}$.

Результат можно также записать в виде дроби: $y''' = -\frac{6}{(x-1)^4}$.

Ответ: $y''' = -6(x-1)^{-4}$.

2) $y = (2x-1)^{100}$

Для нахождения производных будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу для степенной функции.

Первая производная:

$y' = ((2x-1)^{100})' = 100(2x-1)^{99} \cdot (2x-1)' = 100(2x-1)^{99} \cdot 2 = 200(2x-1)^{99}$.

Вторая производная:

$y'' = (200(2x-1)^{99})' = 200 \cdot 99(2x-1)^{98} \cdot (2x-1)' = 19800(2x-1)^{98} \cdot 2 = 39600(2x-1)^{98}$.

Третья производная:

$y''' = (39600(2x-1)^{98})' = 39600 \cdot 98(2x-1)^{97} \cdot (2x-1)' = 3880800(2x-1)^{97} \cdot 2 = 7761600(2x-1)^{97}$.

Коэффициент можно также получить следующим образом: $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 2^3 = 970200 \cdot 8 = 7761600$.

Ответ: $y''' = 7761600(2x-1)^{97}$.

3) $y = \sin(3x-2)$

Для нахождения производных будем использовать цепное правило и производные тригонометрических функций: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$ и $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.

Первая производная:

$y' = (\sin(3x-2))' = \cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = \cos(3x-2) \cdot 3 = 3\cos(3x-2)$.

Вторая производная:

$y'' = (3\cos(3x-2))' = 3(-\sin(3x-2)) \cdot (3x-2)' = -3\sin(3x-2) \cdot 3 = -9\sin(3x-2)$.

Третья производная:

$y''' = (-9\sin(3x-2))' = -9\cos(3x-2) \cdot (3x-2)' = -9\cos(3x-2) \cdot 3 = -27\cos(3x-2)$.

Ответ: $y''' = -27\cos(3x-2)$.

4) $y = \cos(ax+b)$

Эта задача решается аналогично предыдущей, но с параметрами $a$ и $b$.

Первая производная:

$y' = (\cos(ax+b))' = -\sin(ax+b) \cdot (ax+b)' = -\sin(ax+b) \cdot a = -a\sin(ax+b)$.

Вторая производная:

$y'' = (-a\sin(ax+b))' = -a \cdot \cos(ax+b) \cdot (ax+b)' = -a\cos(ax+b) \cdot a = -a^2\cos(ax+b)$.

Третья производная:

$y''' = (-a^2\cos(ax+b))' = -a^2(-\sin(ax+b)) \cdot (ax+b)' = a^2\sin(ax+b) \cdot a = a^3\sin(ax+b)$.

Ответ: $y''' = a^3\sin(ax+b)$.

7.71. Сколько раз нужно продифференцировать функцию $(2 + x^2)^{100}$, чтобы в результате получить многочлен 50-й степени?

Чтобы определить, сколько раз нужно продифференцировать функцию $f(x) = (2 + x^2)^{100}$ для получения многочлена 50-й степени, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить степень исходной функции.
Исходная функция $f(x) = (2 + x^2)^{100}$ является полиномом. Чтобы найти его степень, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $a=2$, $b=x^2$ и $n=100$:$f(x) = (2 + x^2)^{100} = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} 2^{100-k} (x^2)^k = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} 2^{100-k} x^{2k}$.

Степень многочлена определяется максимальной степенью переменной $x$ в его разложении. Максимальная степень достигается при максимальном значении индекса $k$, то есть при $k=100$.

Максимальная степень $x$ равна $2k = 2 \cdot 100 = 200$.Следовательно, исходная функция $f(x)$ является многочленом 200-й степени.

2. Определить, как дифференцирование влияет на степень многочлена.
При каждом дифференцировании многочлена по переменной $x$ его степень уменьшается на единицу. Например, производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$. Таким образом, если исходный многочлен имеет степень $N$, то после $k$ операций дифференцирования его степень станет $N-k$ (при условии, что $k \le N$).

3. Рассчитать необходимое количество дифференцирований.
Мы имеем многочлен степени $N = 200$. Мы хотим в результате получить многочлен степени 50. Пусть $k$ — это искомое количество дифференцирований. Тогда мы можем составить уравнение:$N - k = 50$$200 - k = 50$

Решим уравнение относительно $k$:$k = 200 - 50 = 150$.

Таким образом, чтобы из многочлена 200-й степени получить многочлен 50-й степени, необходимо продифференцировать его 150 раз.

Ответ: 150.