Номер 7.67, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.67. 1) $y = \sqrt{1-\sqrt{x}} ;$

2) $y = \sqrt{x+\sqrt{x}} ;$

3) $y = x \cdot \sqrt{1+x^2} ;$

4) $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} ;$

5) $y = \frac{x}{x-\sqrt{x^2-4}} ;$

6) $y = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^5 .$

1) Для функции $y = \sqrt{1-\sqrt{x}}$ найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Представим функцию в виде $y = f(g(x))$, где $f(u) = \sqrt{u}$ и $g(x) = 1-\sqrt{x}$. Производная сложной функции равна $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Найдем производную внешней функции $f(u)$: $f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Подставив $g(x)$, получаем $f'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{1-\sqrt{x}}}$.
Найдем производную внутренней функции $g(x)$: $g'(x) = (1-\sqrt{x})' = (1)' - (x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Перемножим результаты: $y' = \frac{1}{2\sqrt{1-\sqrt{x}}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1-\sqrt{x}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{4\sqrt{x(1-\sqrt{x})}}$

2) Для функции $y = \sqrt{x+\sqrt{x}}$ используем цепное правило. Пусть $u = x+\sqrt{x}$, тогда $y = \sqrt{u}$. Производная $y'_{x} = y'_{u} \cdot u'_{x}$.
$y'_{u} = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.
$u'_{x} = (x+\sqrt{x})' = (x)' + (\sqrt{x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}$.
Перемножим производные: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}$.
Ответ: $y' = \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x(x+\sqrt{x})}}$

3) Для функции $y = x \cdot \sqrt{1+x^2}$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u=x$ и $v=\sqrt{1+x^2}$.
$u' = (x)' = 1$.
Для нахождения $v'$ используем цепное правило. Пусть $w = 1+x^2$, тогда $v=\sqrt{w}$. $v' = (\sqrt{w})'_{w} \cdot w'_{x} = \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot (1+x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
Применим правило произведения: $y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$.
Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{(\sqrt{1+x^2})^2 + x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

4) Для функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u=\sqrt{1-x^2}$ и $v=x$.
$v' = (x)' = 1$.
Для нахождения $u'$ используем цепное правило: $u' = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Применим правило частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}) \cdot x - \sqrt{1-x^2} \cdot 1}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$.
Приведем числитель к общему знаменателю: $y' = \frac{\frac{-x^2 - (1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}}{x^2} = \frac{-x^2 - 1 + x^2}{x^2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$

5) Для функции $y = \frac{x}{x - \sqrt{x^2-4}}$ сначала упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $x + \sqrt{x^2-4}$: $y = \frac{x(x + \sqrt{x^2-4})}{(x - \sqrt{x^2-4})(x + \sqrt{x^2-4})} = \frac{x^2 + x\sqrt{x^2-4}}{x^2 - (x^2-4)} = \frac{x^2 + x\sqrt{x^2-4}}{4}$.
Теперь дифференцируем полученное выражение: $y' = \left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x\sqrt{x^2-4}\right)' = \frac{1}{4}(x^2)' + \frac{1}{4}(x\sqrt{x^2-4})'$.
$\frac{1}{4}(x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 2x = \frac{x}{2}$.
Для $(x\sqrt{x^2-4})'$ используем правило произведения: $(x)'\sqrt{x^2-4} + x(\sqrt{x^2-4})' = 1 \cdot \sqrt{x^2-4} + x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} = \sqrt{x^2-4} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{2x^2-4}{\sqrt{x^2-4}}$.
Собираем все вместе: $y' = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x^2-4}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{x}{2} + \frac{x^2-2}{2\sqrt{x^2-4}}$.
Приводя к общему знаменателю, получаем: $y' = \frac{x\sqrt{x^2-4} + x^2-2}{2\sqrt{x^2-4}}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2-2+x\sqrt{x^2-4}}{2\sqrt{x^2-4}}$

6) Для функции $y = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^5$ используем цепное правило. Пусть $u = \frac{x^2}{3x-1}$, тогда $y=u^5$. Производная $y'_{x} = y'_{u} \cdot u'_{x} = 5u^4 \cdot u'$.
Найдем $u'$ по правилу дифференцирования частного: $u' = \left(\frac{x^2}{3x-1}\right)' = \frac{(x^2)'(3x-1) - x^2(3x-1)'}{(3x-1)^2} = \frac{2x(3x-1) - x^2(3)}{(3x-1)^2} = \frac{6x^2-2x-3x^2}{(3x-1)^2} = \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2}$.
Теперь подставим $u$ и $u'$ в формулу для $y'$: $y' = 5\left(\frac{x^2}{3x-1}\right)^4 \cdot \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2} = 5 \frac{x^8}{(3x-1)^4} \cdot \frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2}$.
Упростим выражение: $y' = \frac{5x^8 \cdot x(3x-2)}{(3x-1)^{4+2}} = \frac{5x^9(3x-2)}{(3x-1)^6}$.
Ответ: $y' = \frac{5x^9(3x-2)}{(3x-1)^6}$