Номер 7.73, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.73. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \sqrt{2x} + 2 \cos^2 x$;

2) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{2}x + 2\cos^2 x$.

Для того чтобы решить неравенство $f'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\sqrt{2}x + 2\cos^2 x)' = (\sqrt{2}x)' + (2\cos^2 x)'$.

Производная первого слагаемого: $(\sqrt{2}x)' = \sqrt{2}$.

Для нахождения производной второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

$(2\cos^2 x)' = 2 \cdot 2\cos^{2-1} x \cdot (\cos x)' = 4\cos x \cdot (-\sin x) = -4\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$-4\sin x \cos x = -2(2\sin x \cos x) = -2\sin(2x)$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = \sqrt{2} - 2\sin(2x)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\sqrt{2} - 2\sin(2x) > 0$

$\sqrt{2} > 2\sin(2x)$

$\sin(2x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{5\pi}{8} + \pi k < x < \frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{8} + \pi k; \frac{\pi}{8} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = (\sin 2x)' - (\sqrt{3}x)'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{3}x)' = \sqrt{3}$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 2\cos(2x) - \sqrt{3}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2\cos(2x) - \sqrt{3} > 0$

$2\cos(2x) > \sqrt{3}$

$\cos(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $t = 2x$. Неравенство принимает вид $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.