Номер 7.76, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.76. Докажите формулу бинома Ньютона: $(x+a)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} \cdot a + \ldots + C_n^k x^{n-k} \cdot a^k + \ldots + C_n^n \cdot a^n$, пользуясь понятием производной высшего порядка.

Для доказательства формулы бинома Ньютона воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора (в окрестности нуля — ряд Маклорена), что напрямую использует понятие производных высшего порядка. Рассмотрим функцию $f(a) = (x+a)^n$, где $x$ будем считать константой, а $a$ — переменной. Эта функция является многочленом степени $n$ относительно переменной $a$.

Согласно формуле Тейлора для многочлена, мы можем представить $f(a)$ в виде конечной суммы:

$f(a) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} a^k$

где $f^{(k)}(0)$ — это значение $k$-ой производной функции $f(a)$ по переменной $a$ в точке $a=0$.

Найдем производные высших порядков для функции $f(a) = (x+a)^n$ по переменной $a$:

Нулевая производная (сама функция): $f^{(0)}(a) = f(a) = (x+a)^n$.

Первая производная: $f'(a) = n(x+a)^{n-1}$.

Вторая производная: $f''(a) = n(n-1)(x+a)^{n-2}$.

Третья производная: $f'''(a) = n(n-1)(n-2)(x+a)^{n-3}$.

Продолжая по аналогии, найдем $k$-ю производную:

$f^{(k)}(a) = n(n-1)\dots(n-k+1)(x+a)^{n-k}$.

Это выражение можно записать с использованием факториалов:

$f^{(k)}(a) = \frac{n!}{(n-k)!}(x+a)^{n-k}$.

Теперь вычислим значения этих производных в точке $a=0$:

$f^{(k)}(0) = \frac{n!}{(n-k)!}(x+0)^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$.

Подставим полученные значения в формулу ряда Маклорена:

$f(a) = (x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \left( \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} \right) a^k$.

Упростим выражение для коэффициентов в сумме:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} a^k$.

Выражение $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ является определением биномиального коэффициента $C_n^k$ (или $\binom{n}{k}$).

Таким образом, мы получаем искомую формулу бинома Ньютона:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} a^k$.

Расписывая эту сумму, мы получаем:

$(x+a)^n = C_n^0 x^n a^0 + C_n^1 x^{n-1} a^1 + C_n^2 x^{n-2} a^2 + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n x^0 a^n$.

Учитывая, что $a^0=1$, $a^1=a$, $x^0=1$, формула принимает вид, указанный в условии задачи:

$(x+a)^n = C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1} a + \dots + C_n^k x^{n-k} a^k + \dots + C_n^n a^n$.

Таким образом, формула бинома Ньютона доказана с использованием понятия производной высшего порядка.

Ответ: Приведенное выше рассуждение, основанное на разложении функции $f(a) = (x+a)^n$ в ряд Маклорена, доказывает формулу бинома Ньютона.