Номер 7.74, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.74. Найдите коэффициент при $x^3$:

1) $(3x - 5)^{10}$;

2) $(2x - x^2)^{10}$.

1) Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении $(3x - 5)^{10}$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.
В нашем случае $a = 3x$, $b = -5$ и $n = 10$. Общий член разложения $T_{k+1}$ (k+1-й член) имеет вид:
$T_{k+1} = C_{10}^k (3x)^{10-k} (-5)^k = C_{10}^k 3^{10-k} x^{10-k} (-5)^k$.
Мы ищем член, в котором переменная $x$ имеет степень 3. Для этого показатель степени при $x$ должен быть равен 3:
$10-k = 3$
Отсюда находим $k$:
$k = 10 - 3 = 7$.
Теперь, зная $k=7$, мы можем вычислить коэффициент этого члена. Коэффициент равен $C_{10}^k 3^{10-k} (-5)^k$. Подставим $k=7$:
Коэффициент = $C_{10}^7 \cdot 3^{10-7} \cdot (-5)^7 = C_{10}^7 \cdot 3^3 \cdot (-5)^7$.
Вычислим каждую часть отдельно:
Биномиальный коэффициент $C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
$3^3 = 27$.
$(-5)^7 = -78125$.
Теперь перемножим все полученные значения, чтобы найти искомый коэффициент:
$120 \cdot 27 \cdot (-78125) = 3240 \cdot (-78125) = -253125000$.
Ответ: $-253125000$.

2) Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении $(2x - x^2)^{10}$ также применим формулу бинома Ньютона.
В этом случае $a = 2x$, $b = -x^2$ и $n = 10$. Общий член разложения имеет вид:
$T_{k+1} = C_{10}^k (2x)^{10-k} (-x^2)^k = C_{10}^k \cdot 2^{10-k} \cdot x^{10-k} \cdot (-1)^k \cdot (x^2)^k$.
Упростим выражение, найдя общую степень переменной $x$:
$x^{10-k} \cdot (x^2)^k = x^{10-k} \cdot x^{2k} = x^{10-k+2k} = x^{10+k}$.
Таким образом, общий член разложения выглядит как $T_{k+1} = C_{10}^k \cdot 2^{10-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{10+k}$.
Нам нужен член, содержащий $x^3$, поэтому приравниваем показатель степени $x$ к 3:
$10+k = 3$
$k = 3 - 10 = -7$.
В формуле бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, индекс $k$ должен быть целым неотрицательным числом, удовлетворяющим условию $0 \le k \le n$. В нашем случае $0 \le k \le 10$.
Поскольку полученное значение $k=-7$ не принадлежит этому диапазону, это означает, что в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^3$. Следовательно, коэффициент при $x^3$ равен нулю.
Ответ: $0$.