Номер 7.77, страница 221 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.77–7.80 найдите промежутки возрастания и убывания функций.

7. 77.

1) $y = 2x - 1$; 2) $y = 3 - \frac{x}{2}$; 3) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

4) $y = (x - 2)(x + 3)$; 5) $y = 1 - (2 - x)(3 + 2x)$; 6) $y = x^2 + x + 1$.

1)Функция $y = 2x - 1$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 0$, функция возрастает на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Для проверки найдем производную функции: $y' = (2x - 1)' = 2$. Так как производная $y' = 2$ положительна при любых значениях $x$, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2)Функция $y = 3 - \frac{x}{2}$ является линейной. Представим ее в стандартном виде $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Поскольку $k < 0$, функция убывает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (3 - \frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}$. Так как производная $y' = -\frac{1}{2}$ отрицательна при любых значениях $x$, функция является убывающей на всей числовой оси.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

3)Функция $y = 2x^2 - 4x + 5$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Найдем производную, чтобы определить точку экстремума (вершину параболы): $y' = (2x^2 - 4x + 5)' = 4x - 4$.

Приравняем производную к нулю: $4x - 4 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$.

При $x < 1$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 1$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

4)Раскроем скобки в выражении для функции $y = (x - 2)(x + 3)$:

$y = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$. Найдем производную: $y' = (x^2 + x - 6)' = 2x + 1$.

Найдем критическую точку, приравняв производную к нулю: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.

При $x < -0.5$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > -0.5$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$.

5)Упростим выражение для функции $y = 1 - (2 - x)(3 + 2x)$:

$y = 1 - (6 + 4x - 3x - 2x^2) = 1 - (6 + x - 2x^2) = 1 - 6 - x + 2x^2 = 2x^2 - x - 5$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$). Найдем производную: $y' = (2x^2 - x - 5)' = 4x - 1$.

Приравняем производную к нулю: $4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0.25$.

При $x < 0.25$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > 0.25$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.25; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0.25]$.

6)Функция $y = x^2 + x + 1$ — квадратичная, график — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).

Найдем производную: $y' = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.

Найдем критическую точку: $2x + 1 = 0 \implies x = -0.5$.

При $x < -0.5$, производная $y' < 0$, функция убывает.

При $x > -0.5$, производная $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$.