Номер 7.84, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.84–7.87 найдите промежутки монотонности функций.

7. 84.

1) $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$;

2) $y = x^3 - 3x + 1$;

3) $y = 2x^4 - x + 1$;

4) $y = x^4 - 2x^2 - 3$.

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную и определить знаки производной на интервалах.

1) $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)' = 3x^2 + 6x + 3$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 + 6x + 3 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(x+1)^2 = 0$

Критическая точка: $x = -1$.

3. Определим знак производной $y' = 3(x+1)^2$. Так как выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно (равно нулю при $x=-1$ и положительно при всех остальных $x$), то производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

2) $y = x^3 - 3x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$, $y'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$.

3) $y = 2x^4 - x + 1$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (2x^4 - x + 1)' = 8x^3 - 1$.

2. Найдем критические точки:

$8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

Критическая точка: $x = \frac{1}{2}$.

3. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: $(-\infty, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Определим знак производной.

• При $x \in (-\infty, \frac{1}{2})$, например $x=0$, $y'(0) = 8(0)^3 - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает.
• При $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = 8(1)^3 - 1 = 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{2}]$, возрастает на промежутке $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

4) $y = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Найдем производную функции. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

$y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найдем критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом.

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) = -8(3) = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1, 0)$, например $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) = -2(0.25-1) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0, 1)$, например $x=0.5$, $y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) = 2(0.25-1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 4(2)(2^2-1) = 8(3) = 24 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.