Номер 7.85, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.85. 1) $y = 1 + \frac{3}{2 - x}$;

2) $y = \frac{x}{1 + x^2}$;

3) $y = \left(\frac{x^2 - 1}{x}\right)^3$;

4) $y = x + \frac{4}{x^2}$.

1) Дана функция $y = 1 + \frac{3}{2-x}$.
Для нахождения её производной $y'$, представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = 1 + 3(2-x)^{-1}$.
Используем правило дифференцирования суммы и цепное правило. Производная константы равна нулю.
$y' = (1)' + (3(2-x)^{-1})' = 0 + 3 \cdot (-1)(2-x)^{-1-1} \cdot (2-x)'$.
Производная внутренней функции $(2-x)' = -1$.
Подставляем это значение в выражение для производной:
$y' = -3(2-x)^{-2} \cdot (-1) = 3(2-x)^{-2} = \frac{3}{(2-x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{3}{(2-x)^2}$.

2) Дана функция $y = \frac{x}{1+x^2}$.
Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u = x$ и $v = 1+x^2$.
Находим производные от $u$ и $v$:
$u' = (x)' = 1$
$v' = (1+x^2)' = 2x$
Теперь подставляем найденные производные в формулу частного:
$y' = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

3) Дана функция $y = \left(\frac{x^2-1}{x}\right)^3$.
Сначала упростим выражение в скобках, разделив почленно: $\frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$.
Таким образом, функция принимает вид $y = (x - x^{-1})^3$.
Для нахождения производной используем цепное правило для степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = x - x^{-1}$ и $n = 3$.
Производная внутренней функции: $u' = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Подставляем в формулу цепного правила:
$y' = 3(x - x^{-1})^2 \cdot (1 + x^{-2}) = 3\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$.
Преобразуем выражение, приводя к общему знаменателю:
$y' = 3\left(\frac{x^2-1}{x}\right)^2 \cdot \left(\frac{x^2+1}{x^2}\right) = 3\frac{(x^2-1)^2}{x^2} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{3(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{3(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$.

4) Дана функция $y = x + \frac{4}{x^2}$.
Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $y = x + 4x^{-2}$.
Используем правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x)' + (4x^{-2})' = 1 + 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = 1 - 8x^{-3}$.
Запишем результат с положительным показателем степени:
$y' = 1 - \frac{8}{x^3}$.
Можно также привести выражение к общему знаменателю:
$y' = \frac{x^3}{x^3} - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3-8}{x^3}$.
Ответ: $y' = \frac{x^3-8}{x^3}$.