Номер 7.92, страница 222 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.92. Покажите, что функция является монотонной на всей числовой прямой:

1) $f(x) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5;$

2) $f(x) = 6 - 6x - 2x^3 + 3x^2;$

3) $y = 2x - \sin x;$

4) $y = \cos \frac{x}{2} - x.$

1) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5$.

Для исследования функции на монотонность на всей числовой прямой, найдем ее производную. Функция является монотонной, если ее производная сохраняет знак (неположительна или неотрицательна) на всей области определения.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + x - 5\right)' = \frac{3x^2}{6} - \frac{2x}{2} + 1 = \frac{x^2}{2} - x + 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2} > 0$). Найдем дискриминант квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть $f'(x) > 0$ при любом значении $x$.

Также можно выделить полный квадрат:

$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 2) = \frac{1}{2}((x^2 - 2x + 1) + 1) = \frac{1}{2}((x-1)^2 + 1)$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x-1)^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $f'(x) = \frac{1}{2}((x-1)^2 + 1) \ge \frac{1}{2} > 0$.

Так как производная $f'(x)$ положительна на всей числовой прямой, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, функция является монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго возрастает) на всей числовой прямой, так как ее производная $f'(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 1$ всегда положительна.

2) Дана функция $f(x) = 6 - 6x - 2x^3 + 3x^2$. Перепишем ее в стандартном виде: $f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 6x + 6$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-2x^3 + 3x^2 - 6x + 6)' = -2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 6 = -6x^2 + 6x - 6$.

Исследуем знак производной $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-6 < 0$). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 - 144 = -108$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вниз, то вся парабола лежит ниже оси абсцисс, то есть $f'(x) < 0$ при любом значении $x$.

Также можно выделить полный квадрат:

$f'(x) = -6(x^2 - x + 1) = -6\left(\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} + 1\right) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$.

Поскольку $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, то $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$. Тогда $f'(x) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right) \le -6 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{2} < 0$.

Так как производная $f'(x)$ отрицательна на всей числовой прямой, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, функция является монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго убывает) на всей числовой прямой, так как ее производная $f'(x) = -6\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$ всегда отрицательна.

3) Дана функция $y = 2x - \sin x$.

Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y' = (2x - \sin x)' = 2 - \cos x$.

Исследуем знак производной $y'$. Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Тогда для $y' = 2 - \cos x$ имеем:

Минимальное значение $y'$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $2 - 1 = 1$.

Максимальное значение $y'$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $2 - (-1) = 3$.

Таким образом, $1 \le y' \le 3$ для любого $x$.

Поскольку $y' > 0$ на всей числовой прямой, функция $y(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, а значит, и монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго возрастает) на всей числовой прямой, так как ее производная $y' = 2 - \cos x$ всегда положительна.

4) Дана функция $y = \cos \frac{x}{2} - x$.

Найдем производную функции $y$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = \left(\cos \frac{x}{2} - x\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' - 1 = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1$.

Исследуем знак производной $y'$. Область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(\frac{x}{2}\right) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Умножим неравенство на $-\frac{1}{2}$, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \le -\frac{1}{2} \cdot (-1) \implies -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \le \frac{1}{2}$.

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{2} - 1 \le -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \le \frac{1}{2} - 1$.

$-\frac{3}{2} \le y' \le -\frac{1}{2}$.

Поскольку $y' \le -\frac{1}{2} < 0$ на всей числовой прямой, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой, а значит, и монотонной.

Ответ: Функция является монотонной (строго убывает) на всей числовой прямой, так как ее производная $y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}) - 1$ всегда отрицательна.