Номер 7.97, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.97. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:

1) $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 2;$

2) $y = \sin^4 x + \cos^4 x.$

1) $y = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найти производную функции.$y' = (x^3 - 6x^2 - 15x + 2)' = 3x^2 - 12x - 15$.

3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:$3x^2 - 12x - 15 = 0$.Разделим обе части уравнения на 3:$x^2 - 4x - 5 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.Это и есть критические точки.

4. Отметим критические точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 5)$ и $(5; +\infty)$.Графиком производной $y' = 3x^2 - 12x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2)=21$), значит, функция $y$ возрастает.
- На интервале $(-1; 5)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0)=-15$), значит, функция $y$ убывает.
- На интервале $(5; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=6$, $y'(6)=21$), значит, функция $y$ возрастает.

5. Определим точки экстремума.В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -1$.В точке $x = 5$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 5]$, точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = 5$.

2) $y = \sin^4x + \cos^4x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Для удобства анализа упростим выражение для функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулами двойного угла:$y = \sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$
$y = 1 - 2(\sin x \cos x)^2 = 1 - 2\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2}$.
Теперь применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:
$y = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{4 - (1 - \cos(4x))}{4} = \frac{3 + \cos(4x)}{4}$.
Таким образом, $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

3. Найдем производную функции:$y' = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)\right)' = 0 + \frac{1}{4}(-\sin(4x) \cdot 4) = -\sin(4x)$.

4. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:$-\sin(4x) = 0 \implies \sin(4x) = 0$.
$4x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).
$x = \frac{n\pi}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определим интервалы возрастания и убывания.Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin(4x) > 0$, что эквивалентно $\sin(4x) < 0$.Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < 4x < 2\pi + 2\pi n$.Разделив на 4, получаем: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin(4x) < 0$, что эквивалентно $\sin(4x) > 0$.Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < 4x < \pi + 2\pi n$.Разделив на 4, получаем: $\frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

6. Определим точки экстремума.Точки максимума находятся там, где производная меняет знак с «+» на «-». Это происходит в точках, где начинается интервал убывания, то есть в точках $x = \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки минимума находятся там, где производная меняет знак с «-» на «+». Это происходит в точках, где начинается интервал возрастания, то есть в точках $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}; \frac{\pi}{2} + \frac{n\pi}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$, убывает на промежутках $\left[\frac{n\pi}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\right], n \in \mathbb{Z}$, точки максимума $x_{max} = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$, точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$.