Номер 7.102, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.102. $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10;$

1) [0; 1];

2) [0; 2,5];

3) [0; 4].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10$ на заданных отрезках, воспользуемся стандартным алгоритмом. Сначала найдем производную функции и ее критические точки.

Производная функции:

$y'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{5 \cdot 2x}{2} + 6 + 0 = x^2 - 5x + 6$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x)=0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Это стационарные точки функции.

Теперь исследуем функцию на каждом из заданных отрезков.

1) Отрезок [0; 1]

Ни одна из критических точек ($x=2$, $x=3$) не попадает в отрезок $[0; 1]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах этого отрезка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$y(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{5 \cdot 0^2}{2} + 6 \cdot 0 + 10 = 10$.

$y(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 + 10 = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 16 = \frac{2}{6} - \frac{15}{6} + \frac{96}{6} = \frac{83}{6} = 13 \frac{5}{6}$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что $y_{наим} = 10$ и $y_{наиб} = 13 \frac{5}{6}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(1) = 13 \frac{5}{6}$.

2) Отрезок [0; 2,5]

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[0; 2,5]$, а точка $x=3$ не принадлежит. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на этом отрезке необходимо сравнить значения функции в точках $x=0$, $x=2$ (критическая точка) и $x=2,5$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$y(0) = 10$.

$y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2 + 10 = \frac{8}{3} - 10 + 12 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8+36}{3} = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$.

$y(2,5) = y\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{(5/2)^3}{3} - \frac{5(5/2)^2}{2} + 6\left(\frac{5}{2}\right) + 10 = \frac{125}{24} - \frac{125}{8} + 15 + 10 = \frac{125 - 3 \cdot 125}{24} + 25 = \frac{-250}{24} + 25 = -\frac{125}{12} + \frac{300}{12} = \frac{175}{12} = 14 \frac{7}{12}$.

Сравним значения: $y(0) = 10$, $y(2) = 14 \frac{2}{3} \approx 14,67$, $y(2,5) = 14 \frac{7}{12} \approx 14,58$. Наименьшее значение равно $10$, наибольшее — $14 \frac{2}{3}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(2) = 14 \frac{2}{3}$.

3) Отрезок [0; 4]

Обе критические точки $x=2$ и $x=3$ принадлежат отрезку $[0; 4]$. Значит, необходимо вычислить значения функции на концах отрезка ($x=0$, $x=4$) и в обеих критических точках ($x=2$, $x=3$).

Вычислим значения функции в этих точках:

$y(0) = 10$.

$y(2) = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$.

$y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 6 \cdot 3 + 10 = 9 - \frac{45}{2} + 18 + 10 = 37 - 22,5 = 14,5 = 14 \frac{1}{2}$.

$y(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 6 \cdot 4 + 10 = \frac{64}{3} - 40 + 24 + 10 = \frac{64}{3} - 6 = \frac{64 - 18}{3} = \frac{46}{3} = 15 \frac{1}{3}$.

Сравним значения: $y(0)=10$, $y(2)=14 \frac{2}{3} \approx 14,67$, $y(3)=14,5$, $y(4)=15 \frac{1}{3} \approx 15,33$. Наименьшее значение равно $10$, наибольшее — $15 \frac{1}{3}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(4) = 15 \frac{1}{3}$.