Номер 7.106, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.106. $y = 2\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

1) $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right];$

2) $\left[-\frac{\pi}{4}; 0\right].$

1) Требуется найти множество значений функции $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
Функция $f(t) = \tg(t)$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ также является строго возрастающей на каждом интервале своей области определения, так как она является композицией линейной возрастающей функции $x \to x + \frac{\pi}{4}$ и растяжения вдоль оси ординат.
Область определения функции $y(x)$ задается условием $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
Ближайшая к заданному отрезку точка разрыва — это $x = \frac{\pi}{4}$ (при $k=0$). Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$, отрезок $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ не содержит точек разрыва. Следовательно, функция на этом отрезке непрерывна и строго возрастает.
Поэтому, чтобы найти множество значений, достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
Минимальное значение функции на отрезке достигается в его левом конце, при $x = -\frac{\pi}{6}$:
$y_{min} = y(-\frac{\pi}{6}) = 2\tg(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{-2\pi + 3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{\pi}{12})$.
Для вычисления $\tg(\frac{\pi}{12})$ воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(\frac{\pi}{12}) = \tg(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{3}) - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg(\frac{\pi}{3})\tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Итак, $y_{min} = 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$.
Максимальное значение функции на отрезке достигается в его правом конце, при $x = \frac{\pi}{6}$:
$y_{max} = y(\frac{\pi}{6}) = 2\tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{2\pi + 3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{5\pi}{12})$.
Для вычисления $\tg(\frac{5\pi}{12})$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(\frac{5\pi}{12}) = \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4})}{1 - \tg(\frac{\pi}{6})\tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Итак, $y_{max} = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
Множество значений функции на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ есть отрезок $[y_{min}, y_{max}]$.
Ответ: $[4 - 2\sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3}]$.

2) Требуется найти множество значений функции $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$.
Как было установлено ранее, функция является строго возрастающей на своей области определения. Отрезок $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ не содержит точек разрыва функции (которые имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$). Следовательно, на этом отрезке функция непрерывна и строго возрастает.
Множество значений функции на отрезке — это отрезок от минимального до максимального значения.
Минимальное значение достигается при $x = -\frac{\pi}{4}$:
$y_{min} = y(-\frac{\pi}{4}) = 2\tg(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Максимальное значение достигается при $x = 0$:
$y_{max} = y(0) = 2\tg(0 + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, множество значений функции на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ есть $[0, 2]$.
Ответ: $[0, 2]$.