Номер 7.109, страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.109. 1) $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right);$

2) $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$

1) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y_0 = \sin x$.Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (Ox).Функция имеет вид $y = f(x+a)$. В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $a = \frac{\pi}{3}$.Это означает, что график функции $y = \sin x$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Проведем полное исследование свойств функции:

1. Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Область значений: $[-1; 1]$, так как сдвиг не влияет на значения функции. $E(y) = [-1; 1]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Сдвиг не влияет на период. Основной период $T = 2\pi$.
4. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. $y(-x) = \sin(-x + \frac{\pi}{3}) = -\sin(x - \frac{\pi}{3}) \ne \pm y(x)$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$.
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0 \implies 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ при $\sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \pi + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает, когда ее производная $y' = \cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $y' < 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- Точки максимума: $y=1$. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y=-1$. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ получается сдвигом графика $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox. Область определения - все действительные числа, область значений - отрезок $[-1, 1]$. Период функции $T=2\pi$. Нули функции находятся в точках $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

Для построения графика функции $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y_0 = \cos x$.Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (Ox).Функция имеет вид $y = f(x-a)$. В нашем случае $f(x) = \cos x$ и $a = \frac{\pi}{4}$.Это означает, что график функции $y = \cos x$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Проведем полное исследование свойств функции:

1. Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Область значений: $[-1; 1]$, так как сдвиг не влияет на значения функции. $E(y) = [-1; 1]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Сдвиг не влияет на период. Основной период $T = 2\pi$.
4. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. $y(-x) = \cos(-x - \frac{\pi}{4}) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) \ne \pm y(x)$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$.
$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{4}) > 0 \implies -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{4}) < 0 \implies \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает, когда ее производная $y' = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) < 0$.
$\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $y' < 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0$.
$2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- Точки максимума: $y=1$. $x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k \implies x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y=-1$. $x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi k \implies x_{min} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Область определения - все действительные числа, область значений - отрезок $[-1, 1]$. Период функции $T=2\pi$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.