Страница 226 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Поясните ответ.

2. Сформулируйте основные этапы схемы исследования и построения графика функции и поясните их.

1. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, необходимо следовать определенному алгоритму. Этот алгоритм основан на теореме Вейерштрасса, которая утверждает, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка (в точках $a$ и $b$), либо во внутренних точках отрезка, которые являются точками экстремума (максимума или минимума).

Точки экстремума, в свою очередь, могут быть только среди так называемых критических точек. Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[a, b]$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.

2. Найти все критические точки функции, то есть решить уравнение $f'(x) = 0$ и найти точки, в которых производная не существует.

3. Выбрать из всех критических точек только те, которые принадлежат данному отрезку $[a, b]$.

4. Вычислить значения функции $f(x)$ в критических точках, отобранных на предыдущем шаге.

5. Вычислить значения функции на концах отрезка: $f(a)$ и $f(b)$.

6. Сравнить все полученные значения функции (в критических точках из отрезка и на его концах). Самое большое из этих значений будет наибольшим значением функции на отрезке (обозначается $max_{[a,b]}f(x)$ или $y_{наиб}$), а самое маленькое — наименьшим (обозначается $min_{[a,b]}f(x)$ или $y_{наим}$).

Ответ: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся путем сравнения значений функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и значений функции на концах отрезка.

2. Схема полного исследования функции и построения ее графика включает в себя ряд последовательных этапов, позволяющих выявить все ключевые свойства функции и точно отобразить ее поведение на координатной плоскости. Вот основные этапы и их пояснения:

1. Нахождение области определения функции. На этом этапе определяются все значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ имеет смысл. Это помогает выявить точки разрыва и вертикальные асимптоты.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.
• Четность: функция является четной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (OY).
• Нечетность: функция является нечетной, если $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция является периодической с периодом $T \ne 0$, если $f(x+T) = f(x)$. Это свойство позволяет исследовать функцию на одном периоде и затем распространить результаты на всю область определения.
Знание этих свойств упрощает построение графика.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
• С осью OY: находится значение $f(0)$. Точка пересечения — $(0, f(0))$.
• С осью OX: решается уравнение $f(x) = 0$. Найденные корни $x_1, x_2, ...$ являются абсциссами точек пересечения $(x_i, 0)$. Эти точки также называют нулями функции.

4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции. Определяются интервалы, на которых функция принимает положительные ($f(x) > 0$) и отрицательные ($f(x) < 0$) значения. Для этого используются нули функции и точки разрыва, которые разбивают область определения на интервалы.

5. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума.
• Находится первая производная $f'(x)$.
• Определяются критические точки, где $f'(x)=0$ или не существует.
• Исследуется знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает; если $f'(x) < 0$, функция убывает.
• В точках, где производная меняет знак, находятся точки локального максимума (знак меняется с «+» на «–») и минимума (с «–» на «+»). Вычисляются значения функции в этих точках (значения экстремумов).

6. Нахождение промежутков выпуклости (вогнутости) и точек перегиба.
• Находится вторая производная $f''(x)$.
• Определяются точки, где $f''(x)=0$ или не существует.
• Исследуется знак второй производной. Если $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз); если $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
• Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба. Находятся их координаты.

7. Нахождение асимптот графика функции.
• Вертикальные асимптоты: существуют в точках разрыва $x=c$, если предел функции при приближении к этой точке равен бесконечности: $\lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty$.
• Горизонтальные асимптоты: прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$.
• Наклонные асимптоты: прямая вида $y=kx+b$ является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x)-kx)$.

8. Построение графика. На основе всех полученных данных строится график. На координатную плоскость наносятся асимптоты, точки пересечения с осями, точки экстремумов и перегиба. Затем эти точки соединяются линиями с учетом информации о монотонности и выпуклости функции.

Ответ: Основные этапы исследования функции — это анализ области определения, четности и периодичности, нахождение точек пересечения с осями, промежутков знакопостоянства, экстремумов, интервалов монотонности, точек перегиба, интервалов выпуклости/вогнутости и асимптот, что в совокупности позволяет построить ее точный график.

В упражнениях 7.101–7.106 найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках.

7.101. $y = x^3 - 3x^2 + 3;$ 1) $[-1; 1];$ 2) $[1; 3];$ 3) $[-1; 3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем сравнить полученные значения.

Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + 3$.

1. Найдем производную функции:
$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + 3)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 1]$.
Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, а точка $x=2$ не принадлежит.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=0$:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 3 = -1 - 3 \cdot 1 + 3 = -1$.
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 3 = 3$.
$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.
Среди значений $\{-1, 3, 1\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1; 3]$.
Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 3]$, а точка $x=0$ не принадлежит.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=2$:
$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.
$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 3 = 8 - 3 \cdot 4 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1$.
$y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 3 \cdot 9 + 3 = 27 - 27 + 3 = 3$.
Среди значений $\{1, -1, 3\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 3]$.
Обе критические точки $x=0$ и $x=2$ принадлежат отрезку $[-1; 3]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$y(-1) = -1$.
$y(0) = 3$.
$y(2) = -1$.
$y(3) = 3$.
Среди значений $\{-1, 3, -1, 3\}$ наибольшее равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3$, наименьшее значение $y_{наим} = -1$.

7.102. $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10;$

1) [0; 1];

2) [0; 2,5];

3) [0; 4].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10$ на заданных отрезках, воспользуемся стандартным алгоритмом. Сначала найдем производную функции и ее критические точки.

Производная функции:

$y'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + 10\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{5 \cdot 2x}{2} + 6 + 0 = x^2 - 5x + 6$.

Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x)=0$:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Это квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Это стационарные точки функции.

Теперь исследуем функцию на каждом из заданных отрезков.

1) Отрезок [0; 1]

Ни одна из критических точек ($x=2$, $x=3$) не попадает в отрезок $[0; 1]$. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах этого отрезка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$y(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{5 \cdot 0^2}{2} + 6 \cdot 0 + 10 = 10$.

$y(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 + 10 = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 16 = \frac{2}{6} - \frac{15}{6} + \frac{96}{6} = \frac{83}{6} = 13 \frac{5}{6}$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что $y_{наим} = 10$ и $y_{наиб} = 13 \frac{5}{6}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(1) = 13 \frac{5}{6}$.

2) Отрезок [0; 2,5]

Критическая точка $x=2$ принадлежит отрезку $[0; 2,5]$, а точка $x=3$ не принадлежит. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на этом отрезке необходимо сравнить значения функции в точках $x=0$, $x=2$ (критическая точка) и $x=2,5$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$y(0) = 10$.

$y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2 + 10 = \frac{8}{3} - 10 + 12 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8+36}{3} = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$.

$y(2,5) = y\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{(5/2)^3}{3} - \frac{5(5/2)^2}{2} + 6\left(\frac{5}{2}\right) + 10 = \frac{125}{24} - \frac{125}{8} + 15 + 10 = \frac{125 - 3 \cdot 125}{24} + 25 = \frac{-250}{24} + 25 = -\frac{125}{12} + \frac{300}{12} = \frac{175}{12} = 14 \frac{7}{12}$.

Сравним значения: $y(0) = 10$, $y(2) = 14 \frac{2}{3} \approx 14,67$, $y(2,5) = 14 \frac{7}{12} \approx 14,58$. Наименьшее значение равно $10$, наибольшее — $14 \frac{2}{3}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(2) = 14 \frac{2}{3}$.

3) Отрезок [0; 4]

Обе критические точки $x=2$ и $x=3$ принадлежат отрезку $[0; 4]$. Значит, необходимо вычислить значения функции на концах отрезка ($x=0$, $x=4$) и в обеих критических точках ($x=2$, $x=3$).

Вычислим значения функции в этих точках:

$y(0) = 10$.

$y(2) = \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3}$.

$y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 6 \cdot 3 + 10 = 9 - \frac{45}{2} + 18 + 10 = 37 - 22,5 = 14,5 = 14 \frac{1}{2}$.

$y(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 6 \cdot 4 + 10 = \frac{64}{3} - 40 + 24 + 10 = \frac{64}{3} - 6 = \frac{64 - 18}{3} = \frac{46}{3} = 15 \frac{1}{3}$.

Сравним значения: $y(0)=10$, $y(2)=14 \frac{2}{3} \approx 14,67$, $y(3)=14,5$, $y(4)=15 \frac{1}{3} \approx 15,33$. Наименьшее значение равно $10$, наибольшее — $15 \frac{1}{3}$.

Ответ: $y_{наим} = y(0) = 10$, $y_{наиб} = y(4) = 15 \frac{1}{3}$.

7.103. $y = x^4 - 8x^2 - 9$;

1) $[-1; 1]$;

2) $[0; 3]$;

3) $[3; 5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем производную функции:

$y'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

Критическими точками являются $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

1) Рассмотрим отрезок $[-1; 1]$.

Из всех критических точек этому отрезку принадлежит только точка $x = 0$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в этой критической точке:

$y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(1) = 1^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$.

$y(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $-9$, а наименьшее равно $-16$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -16$, наибольшее значение $y_{max} = -9$.

2) Рассмотрим отрезок $[0; 3]$.

Этому отрезку принадлежат критические точки $x = 0$ и $x = 2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в точке $x=2$ (значение в точке $x=0$ уже известно):

$y(0) = -9$.

$y(2) = 2^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$.

$y(3) = 3^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее равно $-25$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -25$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

3) Рассмотрим отрезок $[3; 5]$.

Ни одна из критических точек ($-2, 0, 2$) не принадлежит этому отрезку. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах отрезка. Поскольку производная $y'(x) = 4x(x-2)(x+2)$ положительна для всех $x > 2$, функция на отрезке $[3; 5]$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение будет в точке $x=3$, а наибольшее - в точке $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(3) = 0$ (уже вычислено в предыдущем пункте).

$y(5) = 5^4 - 8(5)^2 - 9 = 625 - 8 \cdot 25 - 9 = 625 - 200 - 9 = 416$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $416$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 0$, наибольшее значение $y_{max} = 416$.

7.104. $y = \frac{2x - 5}{x^2 - 4}$;

1) [-1.5; 1.5];

2) [3; 5];

3) [-3; 5].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{2x - 5}{x^2 - 4}$ на заданных отрезках, сначала найдем ее производную и критические точки.

Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{2x-5}{x^2-4}\right)' = \frac{(2x-5)'(x^2-4) - (2x-5)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2(x^2-4) - (2x-5)(2x)}{(x^2-4)^2}$

$y' = \frac{2x^2-8 - 4x^2+10x}{(x^2-4)^2} = \frac{-2x^2+10x-8}{(x^2-4)^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (точки, где числитель равен нулю):

$-2x^2 + 10x - 8 = 0$

Разделив на -2, получим: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения (стационарные точки): $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Производная не существует в точках $x = -2$ и $x = 2$, где знаменатель равен нулю. Эти точки являются точками разрыва функции.

Теперь рассмотрим каждый отрезок отдельно.

1) Отрезок $[-1.5, 1.5]$.

Этот отрезок полностью входит в область определения функции, так как точки разрыва $x=-2$ и $x=2$ в него не попадают. Следовательно, функция на нем непрерывна.

Из критических точек ($x=1$ и $x=4$) в данный отрезок попадает только точка $x=1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, вычислим ее значения на концах отрезка и в критической точке $x=1$.

$y(-1.5) = \frac{2(-1.5) - 5}{(-1.5)^2 - 4} = \frac{-3 - 5}{2.25 - 4} = \frac{-8}{-1.75} = \frac{8}{1.75} = \frac{8}{7/4} = \frac{32}{7}$.

$y(1.5) = \frac{2(1.5) - 5}{(1.5)^2 - 4} = \frac{3 - 5}{2.25 - 4} = \frac{-2}{-1.75} = \frac{2}{1.75} = \frac{2}{7/4} = \frac{8}{7}$.

$y(1) = \frac{2(1) - 5}{1^2 - 4} = \frac{2 - 5}{1 - 4} = \frac{-3}{-3} = 1$.

Сравним полученные значения: $1$, $\frac{8}{7}$ (что примерно 1.14) и $\frac{32}{7}$ (что примерно 4.57).

Наименьшее значение равно $1$, а наибольшее равно $\frac{32}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1.5, 1.5]$ равно $1$, наибольшее значение равно $\frac{32}{7}$.

2) Отрезок $[3, 5]$.

Этот отрезок также полностью входит в область определения функции. Функция на нем непрерывна.

Из критических точек ($x=1$ и $x=4$) в данный отрезок попадает только точка $x=4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке $x=4$.

$y(3) = \frac{2(3) - 5}{3^2 - 4} = \frac{6 - 5}{9 - 4} = \frac{1}{5}$.

$y(5) = \frac{2(5) - 5}{5^2 - 4} = \frac{10 - 5}{25 - 4} = \frac{5}{21}$.

$y(4) = \frac{2(4) - 5}{4^2 - 4} = \frac{8 - 5}{16 - 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{5}=0.2$, $\frac{5}{21} \approx 0.238$ и $\frac{1}{4}=0.25$.

Наименьшее значение равно $\frac{1}{5}$, а наибольшее равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[3, 5]$ равно $\frac{1}{5}$, наибольшее значение равно $\frac{1}{4}$.

3) Отрезок $[-3, 5]$.

На данном отрезке находятся точки разрыва функции $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках функция не определена и имеет вертикальные асимптоты. По теореме Вейерштрасса, если функция не является непрерывной на отрезке, она не обязательно достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Исследуем поведение функции вблизи точек разрыва. Например, рассмотрим поведение функции вблизи точки $x=2$.

При $x$, стремящемся к $2$ слева ($x \to 2^-$), числитель $2x-5$ стремится к $-1$, а знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ стремится к $0$ с отрицательной стороны. Следовательно, $y \to +\infty$.

При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), числитель $2x-5$ стремится к $-1$, а знаменатель $x^2-4$ стремится к $0$ с положительной стороны. Следовательно, $y \to -\infty$.

Поскольку на отрезке $[-3, 5]$ функция принимает как сколь угодно большие положительные, так и сколь угодно малые отрицательные значения, она является неограниченной на этом отрезке.

Ответ: на отрезке $[-3, 5]$ наибольшего и наименьшего значений не существует.

7.105. $y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$;

1) $\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$;

2) $\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]$.

1) Для нахождения множества значений функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, сначала определим, в каких границах изменяется аргумент синуса.
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Найдём отрезок значений для $t$, соответствующий отрезку $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$.
При $x = -\frac{\pi}{2}$ имеем: $t = 2(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{6} = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$.
При $x = 0$ имеем: $t = 2(0) - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.
Таким образом, когда $x$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, переменная $t$ изменяется на отрезке $[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}]$.
Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin(t)$ на отрезке $t \in [-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}]$.
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $\sin(t)$ на этом отрезке, найдём её значения на концах отрезка и в точках экстремума, которые попадают в этот отрезок.
Значения на концах отрезка:
$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Функция $\sin(t)$ достигает своего минимума, равного $-1$, в точках $t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точка $t = -\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}]$, так как $-\frac{7\pi}{6} \le -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6}$. Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно $-1$.
Функция $\sin(t)$ достигает своего максимума, равного $1$, в точках $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Ни одна из этих точек не попадает в отрезок $[-\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}]$.
Сравнивая вычисленные значения ($\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$ и $-1$), получаем, что наименьшее значение функции равно $-1$, а наибольшее — $\frac{1}{2}$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от $-1$ до $\frac{1}{2}$ включительно.
Ответ: $[-1; \frac{1}{2}]$.

2) Для нахождения множества значений функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{6})$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$, определим границы изменения аргумента синуса.
Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Найдём отрезок значений для $t$, соответствующий отрезку $x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$.
При $x = \frac{\pi}{6}$ имеем: $t = 2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
При $x = \frac{\pi}{2}$ имеем: $t = 2(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, когда $x$ изменяется на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$, переменная $t$ изменяется на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$.
Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin(t)$ на отрезке $t \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$.
Найдём значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума внутри него.
Значения на концах отрезка:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Функция $\sin(t)$ достигает своего максимума, равного $1$, в точках $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точка $t = \frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$, так как $\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{6}$. Следовательно, наибольшее значение функции на данном отрезке равно $1$.
Функция $\sin(t)$ достигает своего минимума, равного $-1$, в точках $t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Ни одна из этих точек не попадает в отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$.
Сравнивая вычисленные значения ($\frac{1}{2}$ и $1$), получаем, что наименьшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее — $1$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от $\frac{1}{2}$ до $1$ включительно.
Ответ: $[\frac{1}{2}; 1]$.

7.106. $y = 2\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

1) $\left[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}\right];$

2) $\left[-\frac{\pi}{4}; 0\right].$

1) Требуется найти множество значений функции $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
Функция $f(t) = \tg(t)$ является строго возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ также является строго возрастающей на каждом интервале своей области определения, так как она является композицией линейной возрастающей функции $x \to x + \frac{\pi}{4}$ и растяжения вдоль оси ординат.
Область определения функции $y(x)$ задается условием $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
Ближайшая к заданному отрезку точка разрыва — это $x = \frac{\pi}{4}$ (при $k=0$). Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$, отрезок $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ не содержит точек разрыва. Следовательно, функция на этом отрезке непрерывна и строго возрастает.
Поэтому, чтобы найти множество значений, достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
Минимальное значение функции на отрезке достигается в его левом конце, при $x = -\frac{\pi}{6}$:
$y_{min} = y(-\frac{\pi}{6}) = 2\tg(-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{-2\pi + 3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{\pi}{12})$.
Для вычисления $\tg(\frac{\pi}{12})$ воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(\frac{\pi}{12}) = \tg(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{3}) - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg(\frac{\pi}{3})\tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Итак, $y_{min} = 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$.
Максимальное значение функции на отрезке достигается в его правом конце, при $x = \frac{\pi}{6}$:
$y_{max} = y(\frac{\pi}{6}) = 2\tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{2\pi + 3\pi}{12}) = 2\tg(\frac{5\pi}{12})$.
Для вычисления $\tg(\frac{5\pi}{12})$ воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(\frac{5\pi}{12}) = \tg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tg(\frac{\pi}{6}) + \tg(\frac{\pi}{4})}{1 - \tg(\frac{\pi}{6})\tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Итак, $y_{max} = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$.
Множество значений функции на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ есть отрезок $[y_{min}, y_{max}]$.
Ответ: $[4 - 2\sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3}]$.

2) Требуется найти множество значений функции $y = 2\tg(x + \frac{\pi}{4})$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$.
Как было установлено ранее, функция является строго возрастающей на своей области определения. Отрезок $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ не содержит точек разрыва функции (которые имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$). Следовательно, на этом отрезке функция непрерывна и строго возрастает.
Множество значений функции на отрезке — это отрезок от минимального до максимального значения.
Минимальное значение достигается при $x = -\frac{\pi}{4}$:
$y_{min} = y(-\frac{\pi}{4}) = 2\tg(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Максимальное значение достигается при $x = 0$:
$y_{max} = y(0) = 2\tg(0 + \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, множество значений функции на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, 0]$ есть $[0, 2]$.
Ответ: $[0, 2]$.

В упражнениях 7.107–7.109 исследуйте и постройте график указанных функций.

7.107.

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = x^2 + 2x - 3$;

3) $y = 1 - x - x^2$;

4) $y = 2x^2 - x - 3$.

1) $y = 4x - x^2$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = -x^2 + 4x$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$.
Ордината вершины: $y_в = y(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.
Координаты вершины: $(2; 4)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = 2$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4)=0 \implies x_1=0, x_2=4$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

6. Область значений функции: так как ветви параболы направлены вниз, $E(y) = (-\infty; y_в] = (-\infty; 4]$.

7. Промежутки монотонности. Функция возрастает при $x \in (-\infty; 2]$ и убывает при $x \in [2; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем найденные точки: вершину $(2; 4)$ и точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2; 4)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии $x=2$. Точки пересечения с осями координат: $(0; 0)$ и $(4; 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

2) $y = x^2 + 2x - 3$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = x^2 + 2x - 3$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.
Ордината вершины: $y_в = y(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Координаты вершины: $(-1; -4)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = -1$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = -3$. Точки пересечения — $(1; 0)$ и $(-3; 0)$.

6. Область значений функции: так как ветви параболы направлены вверх, $E(y) = [y_в; +\infty) = [-4; +\infty)$.

7. Промежутки монотонности. Функция убывает при $x \in (-\infty; -1]$ и возрастает при $x \in [-1; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем найденные точки: вершину $(-1; -4)$, точки пересечения с осями $(0; -3)$, $(1; 0)$, $(-3; 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1; -4)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии $x=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$ и $(1; 0)$, с осью Oy: $(0; -3)$. Функция убывает на $(-\infty; -1]$ и возрастает на $[-1; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

3) $y = 1 - x - x^2$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = -x^2 - x + 1$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$.
Ордината вершины: $y_в = y(-0.5) = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 1 = -0.25 + 0.5 + 1 = 1.25$.
Координаты вершины: $(-0.5; 1.25)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = -0.5$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - x + 1 = 0 \implies x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5$.
Корни: $x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{5})/2$.
$x_1 = (-1 - \sqrt{5})/2 \approx -1.62$, $x_2 = (-1 + \sqrt{5})/2 \approx 0.62$.
Точки пересечения: $((-1 - \sqrt{5})/2; 0)$ и $((-1 + \sqrt{5})/2; 0)$.

6. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1.25]$.

7. Промежутки монотонности. Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем вершину $(-0.5; 1.25)$, точку $(0; 1)$ и симметричную ей точку $(-1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-0.5; 1.25)$ и ветвями, направленными вниз. Ось симметрии $x=-0.5$. Точки пересечения с осью Ox: $((-1 \pm \sqrt{5})/2; 0)$, с осью Oy: $(0; 1)$. Функция возрастает на $(-\infty; -0.5]$ и убывает на $[-0.5; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 1.25]$.

4) $y = 2x^2 - x - 3$

Проведем исследование функции:

1. Функция $y = 2x^2 - x - 3$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot 2) = 1/4 = 0.25$.
Ордината вершины: $y_в = y(0.25) = 2(0.25)^2 - 0.25 - 3 = 2(0.0625) - 0.25 - 3 = 0.125 - 0.25 - 3 = -3.125$.
Координаты вершины: $(0.25; -3.125)$.

4. Ось симметрии параболы: прямая $x = 0.25$.

5. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = 2(0)^2 - 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_{1,2} = (1 \pm 5)/(2 \cdot 2)$.
$x_1 = (1-5)/4 = -1$, $x_2 = (1+5)/4 = 6/4 = 1.5$.
Точки пересечения: $(-1; 0)$ и $(1.5; 0)$.

6. Область значений функции: $E(y) = [-3.125; +\infty)$.

7. Промежутки монотонности. Функция убывает на $(-\infty; 0.25]$ и возрастает на $[0.25; +\infty)$.

8. Построение графика. Используем вершину $(0.25; -3.125)$ и точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(1.5; 0)$, $(0; -3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0.25; -3.125)$ и ветвями, направленными вверх. Ось симметрии $x=0.25$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(1.5; 0)$, с осью Oy: $(0; -3)$. Функция убывает на $(-\infty; 0.25]$ и возрастает на $[0.25; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-3.125; +\infty)$.

7.108. 1) $y = 3x^2 - x^3;$

2) $y = 2x^2 - x^4;$

3) $y = (x + 3)^3;$

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17.$

1) $y = 3x^2 - x^3$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдём её производную.$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:$6x - 3x^2 = 0$$3x(2 - x) = 0$Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной в каждом из этих интервалов.- В интервале $(-\infty, 0)$, возьмём точку $x = -1$. $y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.- В интервале $(0, 2)$, возьмём точку $x = 1$. $y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.- В интервале $(2, +\infty)$, возьмём точку $x = 3$. $y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.Поскольку в точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$. Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точка максимума $x=2$, $y_{max}=4$.

2) $y = 2x^2 - x^4$

Найдём производную функции:$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$:$4x - 4x^3 = 0$$4x(1 - x^2) = 0$$4x(1 - x)(1 + x) = 0$Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.- В интервале $(-\infty, -1)$, возьмём точку $x = -2$. $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$. Функция возрастает.- В интервале $(-1, 0)$, возьмём точку $x = -0.5$. $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$. Функция убывает.- В интервале $(0, 1)$, возьмём точку $x = 0.5$. $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.- В интервале $(1, +\infty)$, возьмём точку $x = 2$. $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$. Функция убывает.В точке $x=-1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2-1 = 1$.В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2-1 = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки максимума $x=-1$, $y_{max}=1$ и $x=1$, $y_{max}=1$. Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$.

3) $y = (x + 3)^3$

Найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:$y' = ((x + 3)^3)' = 3(x + 3)^2 \cdot (x+3)' = 3(x + 3)^2$.Найдём критические точки:$3(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$.Выражение $(x+3)^2$ неотрицательно для любого $x$, то есть $y' = 3(x+3)^2 \ge 0$ при всех $x \in R$. Производная равна нулю только в одной точке $x=-3$.Так как производная не меняет знак (она всегда неотрицательна), функция не имеет точек экстремума. Она является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Точка $x=-3$ является стационарной точкой (точкой перегиба).
Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Точек экстремума нет.

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$

Найдём производную функции:$y' = (x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17)' = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$.Для нахождения критических точек необходимо решить кубическое уравнение:$4x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0$.Это уравнение не имеет очевидных рациональных корней, и его точное решение приводит к громоздким выражениям. Проведём качественный анализ, исследуя производную $y'$.Найдём вторую производную $y''$ (производную от $y'$):$y'' = (4x^3 + 12x^2 - 36x + 1)' = 12x^2 + 24x - 36 = 12(x^2 + 2x - 3) = 12(x+3)(x-1)$.Вторая производная равна нулю в точках $x=-3$ и $x=1$. Это точки экстремума для функции $y'$.Найдём значения $y'$ в этих точках:$y'(-3) = 4(-3)^3 + 12(-3)^2 - 36(-3) + 1 = -108 + 108 + 108 + 1 = 109$.$y'(1) = 4(1)^3 + 12(1)^2 - 36(1) + 1 = 4 + 12 - 36 + 1 = -19$.Поскольку $y'(-3) = 109 > 0$ (локальный максимум $y'$) и $y'(1) = -19 < 0$ (локальный минимум $y'$), и $y'$ является непрерывной функцией, то уравнение $y'=0$ имеет три различных действительных корня. Обозначим их $x_1, x_2, x_3$.- $\lim_{x \to -\infty} y'(x) = -\infty$ и $y'(-3) = 109$, следовательно, один корень $x_1$ находится в интервале $(-\infty, -3)$.- $y'(-3) = 109$ и $y'(1) = -19$, следовательно, второй корень $x_2$ находится в интервале $(-3, 1)$.- $y'(1) = -19$ и $\lim_{x \to +\infty} y'(x) = +\infty$, следовательно, третий корень $x_3$ находится в интервале $(1, +\infty)$.На основе знаков $y'$ на интервалах, образованных этими корнями, определим монотонность функции $y$:- На $(-\infty, x_1)$ имеем $y' < 0$, функция $y$ убывает.- На $(x_1, x_2)$ имеем $y' > 0$, функция $y$ возрастает.- На $(x_2, x_3)$ имеем $y' < 0$, функция $y$ убывает.- На $(x_3, +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция $y$ возрастает.Таким образом, функция $y(x)$ имеет точки локального минимума при $x=x_1$ и $x=x_3$, и точку локального максимума при $x=x_2$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[x_1, x_2]$ и $[x_3, +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$, где $x_1, x_2, x_3$ – это три действительных корня уравнения $4x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0$. Функция имеет два локальных минимума в точках $x_1$ и $x_3$, и один локальный максимум в точке $x_2$.

7.109. 1) $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right);$

2) $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$

1) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y_0 = \sin x$.Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (Ox).Функция имеет вид $y = f(x+a)$. В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $a = \frac{\pi}{3}$.Это означает, что график функции $y = \sin x$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Проведем полное исследование свойств функции:

1. Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Область значений: $[-1; 1]$, так как сдвиг не влияет на значения функции. $E(y) = [-1; 1]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Сдвиг не влияет на период. Основной период $T = 2\pi$.
4. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. $y(-x) = \sin(-x + \frac{\pi}{3}) = -\sin(x - \frac{\pi}{3}) \ne \pm y(x)$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$.
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0 \implies 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ при $\sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \pi + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает, когда ее производная $y' = \cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$.
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $y' < 0$.
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- Точки максимума: $y=1$. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y=-1$. $x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{min} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ получается сдвигом графика $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox. Область определения - все действительные числа, область значений - отрезок $[-1, 1]$. Период функции $T=2\pi$. Нули функции находятся в точках $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

Для построения графика функции $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y_0 = \cos x$.Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси абсцисс (Ox).Функция имеет вид $y = f(x-a)$. В нашем случае $f(x) = \cos x$ и $a = \frac{\pi}{4}$.Это означает, что график функции $y = \cos x$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Проведем полное исследование свойств функции:

1. Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.
2. Область значений: $[-1; 1]$, так как сдвиг не влияет на значения функции. $E(y) = [-1; 1]$.
3. Периодичность: Функция является периодической. Сдвиг не влияет на период. Основной период $T = 2\pi$.
4. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. $y(-x) = \cos(-x - \frac{\pi}{4}) = \cos(x + \frac{\pi}{4}) \ne \pm y(x)$.
5. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$.
$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{4}) > 0 \implies -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ при $\cos(x - \frac{\pi}{4}) < 0 \implies \frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания):
- Функция возрастает, когда ее производная $y' = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) < 0$.
$\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $y' < 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) > 0$.
$2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума:
- Точки максимума: $y=1$. $x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k \implies x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y=-1$. $x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi k \implies x_{min} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Область определения - все действительные числа, область значений - отрезок $[-1, 1]$. Период функции $T=2\pi$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

7.110. Среди всех прямоугольников с периметром $2a$ найдите такой, который имеет наибольшую площадь.

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$. По условию задачи, периметр равен $2a$.

$2(x+y) = 2a$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$x+y = a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Нам нужно найти прямоугольник с наибольшей площадью, то есть найти максимум функции $S(x, y) = xy$ при условии $x+y=a$.

Выразим одну из сторон, например $y$, через другую из условия для периметра:

$y = a-x$

Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x(a-x) = ax - x^2$

Поскольку $x$ и $y$ - это длины сторон, они должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$. Из $y > 0$ следует, что $a-x > 0$, то есть $x < a$. Таким образом, мы ищем максимум функции $S(x)$ на интервале $x \in (0, a)$.

Функция $S(x) = -x^2 + ax$ является квадратичной, ее график - парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Максимальное значение такая функция достигает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $f(z) = Az^2+Bz+C$ находится по формуле $z_v = -B/(2A)$. Для нашей функции $S(x)$ имеем $A=-1$ и $B=a$.

$x = \frac{-a}{2 \cdot (-1)} = \frac{a}{2}$

Найдем вторую сторону прямоугольника:

$y = a-x = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны: $x = y = a/2$. Это означает, что прямоугольник является квадратом.

Для проверки можно использовать производную. Найдем производную функции площади $S(x)$:

$S'(x) = (ax - x^2)' = a - 2x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$a - 2x = 0 \implies x = \frac{a}{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (a - 2x)' = -2$

Так как $S''(x) < 0$, найденная точка $x=a/2$ является точкой максимума.

Следовательно, среди всех прямоугольников с заданным периметром $2a$ наибольшую площадь имеет квадрат со стороной $a/2$.

Ответ: Квадрат со стороной $a/2$.