Страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.124. Расстояние от буровой вышки до ближайшей точки прямолинейной трассы 9 км, а от последней точки до населенного пункта на трассе – 23 км. Скорость велосипедиста по бездорожью равна 8 км/ч, а по трассе – 10 км/ч. До какой точки трассы велосипедист должен ехать по бездорожью, чтобы доехать до населенного пункта за наименьшее время?

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть буровая вышка находится в точке А, а прямолинейная трасса — это прямая линия. Пусть В — ближайшая к вышке точка на трассе, а С — населенный пункт. Тогда АВ ⊥ ВС. Велосипедист должен выехать из точки А на некоторую точку Р на трассе, а затем двигаться по трассе до точки С.

По условию задачи имеем:

• Расстояние от вышки до трассы: $AB = 9$ км.
• Расстояние от ближайшей точки на трассе до населенного пункта: $BC = 23$ км.
• Скорость по бездорожью (участок AP): $v_1 = 8$ км/ч.
• Скорость по трассе (участок PC): $v_2 = 10$ км/ч.

Сделаем схематический рисунок:

Обозначим расстояние $BP$ через $x$ (в км). Точка $P$ находится между $B$ и $C$, поэтому $0 \le x \le 23$. Тогда расстояние $PC = 23 - x$.
Найдем расстояние $AP$, которое велосипедист проезжает по бездорожью. Из прямоугольного треугольника $ABP$ по теореме Пифагора:
$AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км.
Время, затраченное на каждый участок пути, равно отношению расстояния к скорости.
Время движения по бездорожью (от А до Р): $t_1 = \frac{AP}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{8}$ ч.
Время движения по трассе (от Р до С): $t_2 = \frac{PC}{v_2} = \frac{23 - x}{10}$ ч.
Общее время в пути $T$ является функцией от $x$:
$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{8} + \frac{23 - x}{10}$.
Нам нужно найти такое значение $x$ из отрезка $[0, 23]$, при котором функция $T(x)$ принимает наименьшее значение. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.
$T'(x) = \left(\frac{1}{8}(81 + x^2)^{1/2} + \frac{23}{10} - \frac{x}{10}\right)' = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (81 + x^2)' - \frac{1}{10}$
$T'(x) = \frac{1}{16\sqrt{81 + x^2}} \cdot 2x - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{10}$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{10} = 0$
$\frac{x}{8\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{10}$
$10x = 8\sqrt{81 + x^2}$.
Поскольку $x \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$(10x)^2 = (8\sqrt{81 + x^2})^2$
$100x^2 = 64(81 + x^2)$
$100x^2 = 64 \cdot 81 + 64x^2$
$100x^2 - 64x^2 = 64 \cdot 81$
$36x^2 = 5184$
$x^2 = \frac{5184}{36} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$.
Мы нашли единственную критическую точку $x=12$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 23]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной.
При $x < 12$ (например, $x=0$), $T'(0) = 0 - \frac{1}{10} < 0$, функция убывает.
При $x > 12$ (например, $x=16$), $\sqrt{81+16^2} = \sqrt{81+256}=\sqrt{337} \approx 18.3$. $T'(16) = \frac{16}{8 \cdot \sqrt{337}} - \frac{1}{10} = \frac{2}{\sqrt{337}} - \frac{1}{10} = \frac{2}{18.3} - 0.1 \approx 0.109 - 0.1 > 0$, функция возрастает.
Следовательно, $x=12$ является точкой минимума для функции времени $T(x)$.
Таким образом, велосипедист должен ехать по бездорожью до точки на трассе, которая находится на расстоянии 12 км от точки В (ближайшей к вышке) в направлении населенного пункта С.

Ответ: Велосипедист должен ехать по бездорожью до точки на трассе, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к буровой вышке точки в сторону населенного пункта.

7.125. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x-1}{|x-3|} \cdot (x^2 - 9)$

2) $y = \frac{2-x}{|x+1|} \cdot (x^2 - x - 2)$

1) $y = \frac{x-1}{|x-3|} \cdot (x^2-9)$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-3| \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Далее, раскроем модуль $|x-3|$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.
В этом случае $|x-3| = x-3$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x-1}{x-3} \cdot (x^2-9) = \frac{x-1}{x-3} \cdot (x-3)(x+3)$.
Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:
$y = (x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$.
Таким образом, при $x > 3$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 + 2x - 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$, что не входит в рассматриваемый промежуток $x > 3$. На границе промежутка при $x=3$ имеем "выколотую" точку. Найдем ее координаты: $y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$. Точка $(3, 12)$ не принадлежит графику.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x-1}{-(x-3)} \cdot (x-3)(x+3)$.
Сокращаем на $(x-3)$:
$y = -(x-1)(x+3) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$.
При $x < 3$ график функции совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями вниз.
Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. $y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина находится в точке $(-1, 4)$, что удовлетворяет условию $x < 3$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1)=0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат промежутку $x < 3$.
На границе промежутка при $x=3$ имеем "выколотую" точку. Найдем ее координаты: $y(3) = -3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = -9 - 6 + 3 = -12$. Точка $(3, -12)$ не принадлежит графику.

Итак, строим график функции, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ при $x < 3$.
2. Часть параболы $y = x^2 + 2x - 3$ при $x > 3$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x < 3$ это часть параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ (ветви вниз) с вершиной в точке $(-1, 4)$ и выколотой точкой $(3, -12)$. При $x > 3$ это часть параболы $y = x^2 + 2x - 3$ (ветви вверх), начинающаяся из выколотой точки $(3, 12)$.

2) $y = \frac{2-x}{|x+1|} \cdot (x^2-x-2)$

Найдем область определения функции. Знаменатель $|x+1|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Разложим квадратный трехчлен $x^2-x-2$ на множители. Корни уравнения $x^2-x-2=0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Следовательно, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$.
Теперь раскроем модуль $|x+1|$.

Случай 1: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
В этом случае $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2-x}{x+1} \cdot (x-2)(x+1)$.
Так как $x \neq -1$, сокращаем на $(x+1)$:
$y = (2-x)(x-2) = -(x-2)(x-2) = -(x-2)^2$.
При $x > -1$ график функции совпадает с графиком параболы $y = -(x-2)^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(2, 0)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку. На границе промежутка при $x=-1$ имеем "выколотую" точку: $y(-1) = -(-1-2)^2 = -(-3)^2 = -9$. Точка $(-1, -9)$ не принадлежит графику.

Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2-x}{-(x+1)} \cdot (x-2)(x+1)$.
Сокращаем на $(x+1)$:
$y = \frac{2-x}{-1} \cdot (x-2) = -(2-x)(x-2) = (x-2)^2$.
При $x < -1$ график функции совпадает с графиком параболы $y = (x-2)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(2, 0)$, которая не входит в промежуток $x < -1$. На границе промежутка при $x=-1$ имеем "выколотую" точку: $y(-1) = (-1-2)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-1, 9)$ не принадлежит графику.

Итак, строим график функции, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = (x-2)^2$ при $x < -1$.
2. Часть параболы $y = -(x-2)^2$ при $x > -1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x < -1$ это часть параболы $y = (x-2)^2$ (ветви вверх), начинающаяся из выколотой точки $(-1, 9)$. При $x > -1$ это часть параболы $y = -(x-2)^2$ (ветви вниз) с вершиной в точке $(2, 0)$ и выколотой точкой $(-1, -9)$.

7.126. Решите неравенство:

1) $\frac{8|x|-14}{x-3} \le 4$;

2) $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} \le 0$.

1) Решим неравенство $\frac{8|x|-14}{x-3} \le 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{8x-14}{x-3} \le 4$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{8x-14}{x-3} - 4 \le 0$

$\frac{8x-14 - 4(x-3)}{x-3} \le 0$

$\frac{8x-14 - 4x + 12}{x-3} \le 0$

$\frac{4x - 2}{x-3} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x-2=0 \Rightarrow x = 0,5$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x = 3$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.

Решением неравенства $\frac{4x-2}{x-3} \le 0$ является промежуток $[0,5; 3)$.

Учитывая условие этого случая $x \ge 0$, пересекаем решение $[0,5; 3)$ с промежутком $[0; +\infty)$. Решение для первого случая: $x \in [0,5; 3)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$\frac{-8x-14}{x-3} \le 4$

$\frac{-8x-14}{x-3} - 4 \le 0$

$\frac{-8x-14 - 4(x-3)}{x-3} \le 0$

$\frac{-8x-14 - 4x + 12}{x-3} \le 0$

$\frac{-12x - 2}{x-3} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $-12x-2=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x = 3$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки.

Решением неравенства $\frac{-12x-2}{x-3} \le 0$ является объединение промежутков $(-\infty; -1/6] \cup (3; +\infty)$.

Учитывая условие этого случая $x < 0$, пересекаем решение с промежутком $(-\infty; 0)$. Решение для второго случая: $x \in (-\infty; -1/6]$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

$(-\infty; -1/6] \cup [0,5; 3)$.

Ответ: $(-\infty; -1/6] \cup [0,5; 3)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x+8} \le 0$.

ОДЗ: $x+8 \ne 0 \Rightarrow x \ne -8$.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x^2+1)(x-1)}{x+8} \le 0$

Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любом действительном $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $x^2+1$, не меняя знака неравенства.

$\frac{x-1}{x+8} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x+8=0 \Rightarrow x=-8$. Точка выколотая.

Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах.

Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток между корнями.

Решением является промежуток $(-8; 1]$.

Ответ: $(-8; 1]$.

7.127. Найдите значение выражения $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}} \cdot \frac{a^2 b^2}{a+b}$ при $a = -0,1$ и $b = 95$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}} \cdot \frac{a^2b^2}{a+b} $$

Сначала преобразуем первую дробь. Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, избавимся от отрицательных степеней:

$$ \frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $$

Теперь приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:

$$ \frac{\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}}{\frac{b - a}{ab}} $$

Для того чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую. Также разложим выражение $b^2 - a^2$ по формуле разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.

$$ \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a)}{a^2b^2} \cdot \frac{ab}{b - a} $$

Сократим общие множители $(b-a)$ и $ab$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(b - a)}(b + a)}{ab \cdot \cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{b - a}} = \frac{a + b}{ab} $$

Теперь подставим упрощенное выражение для первой дроби обратно в исходное выражение:

$$ \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a+b} $$

Сократим одинаковые множители $(a+b)$ и $ab$:

$$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}}{\cancel{a+b}} = ab $$

Таким образом, всё исходное выражение упрощается до произведения $ab$.

Теперь подставим заданные значения $a = -0,1$ и $b = 95$ в полученное упрощенное выражение:

$$ ab = (-0,1) \cdot 95 = -9,5 $$

Ответ: -9,5