Номер 7.125, страница 228 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.125. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x-1}{|x-3|} \cdot (x^2 - 9)$

2) $y = \frac{2-x}{|x+1|} \cdot (x^2 - x - 2)$

1) $y = \frac{x-1}{|x-3|} \cdot (x^2-9)$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-3| \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Далее, раскроем модуль $|x-3|$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.
В этом случае $|x-3| = x-3$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x-1}{x-3} \cdot (x^2-9) = \frac{x-1}{x-3} \cdot (x-3)(x+3)$.
Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:
$y = (x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$.
Таким образом, при $x > 3$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 + 2x - 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$, что не входит в рассматриваемый промежуток $x > 3$. На границе промежутка при $x=3$ имеем "выколотую" точку. Найдем ее координаты: $y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$. Точка $(3, 12)$ не принадлежит графику.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x-1}{-(x-3)} \cdot (x-3)(x+3)$.
Сокращаем на $(x-3)$:
$y = -(x-1)(x+3) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$.
При $x < 3$ график функции совпадает с графиком параболы $y = -x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями вниз.
Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. $y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина находится в точке $(-1, 4)$, что удовлетворяет условию $x < 3$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1)=0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат промежутку $x < 3$.
На границе промежутка при $x=3$ имеем "выколотую" точку. Найдем ее координаты: $y(3) = -3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = -9 - 6 + 3 = -12$. Точка $(3, -12)$ не принадлежит графику.

Итак, строим график функции, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ при $x < 3$.
2. Часть параболы $y = x^2 + 2x - 3$ при $x > 3$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x < 3$ это часть параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ (ветви вниз) с вершиной в точке $(-1, 4)$ и выколотой точкой $(3, -12)$. При $x > 3$ это часть параболы $y = x^2 + 2x - 3$ (ветви вверх), начинающаяся из выколотой точки $(3, 12)$.

2) $y = \frac{2-x}{|x+1|} \cdot (x^2-x-2)$

Найдем область определения функции. Знаменатель $|x+1|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Разложим квадратный трехчлен $x^2-x-2$ на множители. Корни уравнения $x^2-x-2=0$ равны $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Следовательно, $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$.
Теперь раскроем модуль $|x+1|$.

Случай 1: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
В этом случае $|x+1| = x+1$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2-x}{x+1} \cdot (x-2)(x+1)$.
Так как $x \neq -1$, сокращаем на $(x+1)$:
$y = (2-x)(x-2) = -(x-2)(x-2) = -(x-2)^2$.
При $x > -1$ график функции совпадает с графиком параболы $y = -(x-2)^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(2, 0)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому промежутку. На границе промежутка при $x=-1$ имеем "выколотую" точку: $y(-1) = -(-1-2)^2 = -(-3)^2 = -9$. Точка $(-1, -9)$ не принадлежит графику.

Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2-x}{-(x+1)} \cdot (x-2)(x+1)$.
Сокращаем на $(x+1)$:
$y = \frac{2-x}{-1} \cdot (x-2) = -(2-x)(x-2) = (x-2)^2$.
При $x < -1$ график функции совпадает с графиком параболы $y = (x-2)^2$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(2, 0)$, которая не входит в промежуток $x < -1$. На границе промежутка при $x=-1$ имеем "выколотую" точку: $y(-1) = (-1-2)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-1, 9)$ не принадлежит графику.

Итак, строим график функции, состоящий из двух частей:
1. Часть параболы $y = (x-2)^2$ при $x < -1$.
2. Часть параболы $y = -(x-2)^2$ при $x > -1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x < -1$ это часть параболы $y = (x-2)^2$ (ветви вверх), начинающаяся из выколотой точки $(-1, 9)$. При $x > -1$ это часть параболы $y = -(x-2)^2$ (ветви вниз) с вершиной в точке $(2, 0)$ и выколотой точкой $(-1, -9)$.