Номер 7.129, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.129. 1) $y = \frac{3}{3 + x^2}$;

2) $y = \frac{x-1}{2x+3}$;

3) $y = \frac{2x}{1+x^2}$;

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$.

1) Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{3}{3 + x^2}$, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, числитель $u = 3$ и знаменатель $v = 3 + x^2$.
Сначала найдем производные числителя и знаменателя:
$u' = (3)' = 0$
$v' = (3 + x^2)' = (3)' + (x^2)' = 0 + 2x = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot (3 + x^2) - 3 \cdot (2x)}{(3 + x^2)^2} = \frac{0 - 6x}{(3 + x^2)^2} = \frac{-6x}{(3 + x^2)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{6x}{(3+x^2)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{x-1}{2x+3}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x-1$ и $v = 2x+3$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (x-1)' = 1$
$v' = (2x+3)' = 2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x-1)'(2x+3) - (x-1)(2x+3)'}{(2x+3)^2} = \frac{1 \cdot (2x+3) - (x-1) \cdot 2}{(2x+3)^2} = \frac{2x+3 - (2x-2)}{(2x+3)^2} = \frac{2x+3 - 2x + 2}{(2x+3)^2} = \frac{5}{(2x+3)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{(2x+3)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{2x}{1+x^2}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 2x$ и $v = 1+x^2$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (2x)' = 2$
$v' = (1+x^2)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x)'(1+x^2) - 2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2+2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$.
Можно вынести общий множитель 2 в числителе: $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.

4) Для функции $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$ найдем производную. Воспользуемся правилом дифференцирования разности функций: $(f-g)' = f'-g'$.
Для удобства перепишем функцию, используя отрицательные степени: $y = 3x^{-1} - x^{-3}$.
Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ к каждому слагаемому:
Производная первого слагаемого: $(3x^{-1})' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.
Производная второго слагаемого: $(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Теперь найдем производную исходной функции как разность производных:
$y' = (3x^{-1})' - (x^{-3})' = -\frac{3}{x^2} - (-\frac{3}{x^4}) = -\frac{3}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^4$ и упростим выражение:
$y' = -\frac{3x^2}{x^4} + \frac{3}{x^4} = \frac{3-3x^2}{x^4} = \frac{3(1-x^2)}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{3(1-x^2)}{x^4}$.