Номер 7.136, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.136. 1) $y = \sin x - \cos 2x;$

2) $y = \sin x - \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin^2 x + \cos x;$

4) $y = \sin 2x + \cos x.$

1) Дана функция $y = \sin x - \cos 2x$. Для нахождения ее производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и правилом дифференцирования сложной функции.
Производная разности функций равна разности их производных:
$y' = (\sin x - \cos 2x)' = (\sin x)' - (\cos 2x)'$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Для нахождения производной от $\cos 2x$ применим правило для сложной функции. Пусть внутренняя функция $u = 2x$, а внешняя $f(u) = \cos u$. Тогда производная будет равна $(\cos(2x))' = f'(u) \cdot u' = (-\sin u) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
Собираем все вместе:
$y' = \cos x - (-2\sin 2x) = \cos x + 2\sin 2x$.
Ответ: $y' = \cos x + 2\sin 2x$.

2) Дана функция $y = \sin x - \operatorname{tg} x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования разности:
$y' = (\sin x - \operatorname{tg} x)' = (\sin x)' - (\operatorname{tg} x)'$.
Находим производные каждого слагаемого:
$(\sin x)' = \cos x$.
$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставляем найденные производные в выражение:
$y' = \cos x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \cos x - \frac{1}{\cos^2 x}$.

3) Дана функция $y = \sin^2 x + \cos x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования суммы:
$y' = (\sin^2 x + \cos x)' = (\sin^2 x)' + (\cos x)'$.
Для нахождения производной от $\sin^2 x$ используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \sin x$, тогда $y = u^2$. Производная будет $(u^2)' = 2u \cdot u'$.
$(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, это можно записать как $\sin 2x$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Складываем полученные результаты:
$y' = 2\sin x \cos x - \sin x$.
Или в другом виде: $y' = \sin 2x - \sin x$.
Ответ: $y' = 2\sin x \cos x - \sin x$.

4) Дана функция $y = \sin 2x + \cos x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции.
$y' = (\sin 2x + \cos x)' = (\sin 2x)' + (\cos x)'$.
Для нахождения производной от $\sin 2x$ применим правило для сложной функции. Пусть $u = 2x$, тогда $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos 2x$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Собираем все вместе:
$y' = 2\cos 2x - \sin x$.
Ответ: $y' = 2\cos 2x - \sin x$.