Номер 7.132, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.132. 1) $y = x^4 - 2x^2 - 3$;

2) $y = 2x^2 - x^4$;

3) $y = 9x^5 + 3x^3$;

4) $y = 0,5(x + 1)^2(x - 2)^3$.

1) Для функции $y = x^4 - 2x^2 - 3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную функции: $y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.
Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 1)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
Промежутки возрастания функции: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки убывания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 3 = -3$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, точки экстремума: $x_{max}=0$, $y_{max}=-3$; $x_{min}=-1$, $y_{min}=-4$; $x_{min}=1$, $y_{min}=-4$.

2) Для функции $y = 2x^2 - x^4$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Находим критические точки: $y' = 0$.
$4x - 4x^3 = 0$
$4x(1 - x^2) = 0$
$4x(1 - x)(1 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Определим знак производной на интервалах:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
Промежутки возрастания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
Промежутки убывания функции: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - 0^4 = 0$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - 1^4 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, точки экстремума: $x_{max}=-1$, $y_{max}=1$; $x_{min}=0$, $y_{min}=0$; $x_{max}=1$, $y_{max}=1$.

3) Для функции $y = 9x^5 + 3x^3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (9x^5 + 3x^3)' = 45x^4 + 9x^2$.
Находим критические точки: $y' = 0$.
$45x^4 + 9x^2 = 0$
$9x^2(5x^2 + 1) = 0$
Так как $5x^2 + 1 > 0$ для любого $x$, единственной критической точкой является $x = 0$.
Определим знак производной. Выражение $y' = 9x^2(5x^2 + 1)$ неотрицательно для всех $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $5x^2+1 > 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.
Так как производная не меняет знак в точке $x=0$, то в этой точке нет экстремума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) Для функции $y = 0.5(x + 1)^2(x - 2)^3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:
$y' = (0.5(x + 1)^2)'(x - 2)^3 + 0.5(x + 1)^2((x - 2)^3)'$
$y' = 0.5 \cdot 2(x+1)(x-2)^3 + 0.5(x+1)^2 \cdot 3(x-2)^2$
$y' = (x+1)(x-2)^3 + 1.5(x+1)^2(x-2)^2$
Вынесем общий множитель $(x+1)(x-2)^2$:
$y' = (x+1)(x-2)^2((x-2) + 1.5(x+1))$
$y' = (x+1)(x-2)^2(x - 2 + 1.5x + 1.5)$
$y' = (x+1)(x-2)^2(2.5x - 0.5)$
$y' = 0.5(x+1)(x-2)^2(5x-1)$
Находим критические точки: $y' = 0$.
$0.5(x+1)(x-2)^2(5x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1/5 = 0.2$, $x_3 = 2$.
Определим знак производной. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак $y'$ определяется знаком произведения $(x+1)(5x-1)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ оба множителя отрицательны, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0.2)$ множитель $(x+1)>0$, а $(5x-1)<0$, поэтому $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0.2; 2)$ оба множителя положительны, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$ оба множителя положительны, $y' > 0$, функция возрастает.
Промежутки возрастания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0.2; +\infty)$.
Промежуток убывания функции: $[-1; 0.2]$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 0.5(-1+1)^2(-1-2)^3 = 0$.
В точке $x = 0.2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0.2) = 0.5(0.2+1)^2(0.2-2)^3 = 0.5(1.2)^2(-1.8)^3 = 0.5 \cdot 1.44 \cdot (-5.832) = -4.19904$.
В точке $x = 2$ производная не меняет знак, поэтому экстремума в этой точке нет.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0.2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 0.2]$, точки экстремума: $x_{max}=-1$, $y_{max}=0$; $x_{min}=0.2$, $y_{min}=-4.19904$.