Вопросы, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите уравнение секущей к графику функции $y = f(x)$, проходящей через точки $A(x_1; f(x_1))$ и $B(x_2; f(x_2))$.

2. Дайте определение выпуклости функции вверх и вниз.

3. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции и докажите его.

4. Какая точка называется точкой перегиба функции?

5. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба функции и докажите его.

6. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции и докажите его.

7. Сформулируйте полную схему исследования функции и поясните ее. Чем отличается эта схема от упрощенной схемы из пункта 7.6 (подпункт 7.6.2)?

1. Напишите уравнение секущей к графику функции y = f(x), проходящей через точки A(x₁; f(x₁)) и B(x₂; f(x₂)).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, в общем виде записывается как:
$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
В данном случае, точки $A$ и $B$ лежат на графике функции $y = f(x)$, поэтому их координаты равны $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Подставим эти значения в уравнение прямой:
$ \frac{y - f(x_1)}{x - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $
Это и есть каноническое уравнение секущей.
Также можно выразить $y$ и представить уравнение в виде функции с угловым коэффициентом:
$ y - f(x_1) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) $
$ y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) $
Здесь угловой коэффициент (тангенс угла наклона секущей) равен $k = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.

Ответ: Уравнение секущей можно записать в двух формах:
Каноническая форма: $ \frac{y - f(x_1)}{x - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $
Форма с угловым коэффициентом: $ y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) $

2. Дайте определение выпуклости функции вверх и вниз.

Функция $y = f(x)$, дифференцируемая на интервале $(a, b)$, называется выпуклой вниз (или вогнутой) на этом интервале, если ее график на $(a, b)$ расположен не ниже любой своей касательной. Геометрически это означает, что любая хорда, соединяющая две точки графика, лежит не ниже самого графика между этими точками.



Функция $y = f(x)$, дифференцируемая на интервале $(a, b)$, называется выпуклой вверх (или просто выпуклой) на этом интервале, если ее график на $(a, b)$ расположен не выше любой своей касательной. Геометрически это означает, что любая хорда, соединяющая две точки графика, лежит не выше самого графика между этими точками.

Ответ: Функция выпукла вниз (вогнута) на интервале, если ее график лежит выше касательной (и ниже хорды). Функция выпукла вверх на интервале, если ее график лежит ниже касательной (и выше хорды).

3. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции и докажите его.

Теорема (достаточное условие выпуклости):
Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a, b)$.
1. Если $f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a, b)$, то функция $f(x)$ выпукла вниз на $(a, b)$.
2. Если $f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a, b)$, то функция $f(x)$ выпукла вверх на $(a, b)$.
Доказательство (для случая выпуклости вниз):
Докажем, что если $f''(x) \ge 0$ на $(a, b)$, то график функции лежит не ниже любой своей касательной.
Возьмем произвольную точку $x_0 \in (a, b)$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке имеет вид:
$ y_{кас}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $
Нам нужно доказать, что для любого $x \in (a, b)$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{кас}(x)$, то есть $f(x) - y_{кас}(x) \ge 0$.
Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = f(x) - y_{кас}(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)$.
Найдем ее производную:
$ g'(x) = f'(x) - f'(x_0) $
По условию, $f''(x) \ge 0$ на $(a, b)$, это означает, что первая производная $f'(x)$ не убывает на этом интервале.
Следовательно:
- при $x > x_0$ имеем $f'(x) \ge f'(x_0)$, откуда $g'(x) \ge 0$. Значит, функция $g(x)$ не убывает на $(x_0, b)$.
- при $x < x_0$ имеем $f'(x) \le f'(x_0)$, откуда $g'(x) \le 0$. Значит, функция $g(x)$ не возрастает на $(a, x_0)$.
Таким образом, в точке $x_0$ функция $g(x)$ достигает своего минимума. Найдем значение функции в этой точке:
$ g(x_0) = f(x_0) - f(x_0) - f'(x_0)(x_0 - x_0) = 0 $
Поскольку $g(x_0) = 0$ является минимальным значением функции $g(x)$ на интервале $(a, b)$, то для любого $x \in (a, b)$ выполняется $g(x) \ge 0$.
Это означает, что $f(x) - y_{кас}(x) \ge 0$, или $f(x) \ge y_{кас}(x)$, что и требовалось доказать.
Доказательство для случая выпуклости вверх ($f''(x) \le 0$) аналогично.

Ответ: Если вторая производная функции $f''(x) \ge 0$ на интервале, то функция выпукла вниз. Если $f''(x) \le 0$, то функция выпукла вверх.

4. Какая точка называется точкой перегиба функции?

Точка $M(x_0, f(x_0))$ графика непрерывной функции $y = f(x)$ называется точкой перегиба, если в этой точке меняется направление выпуклости графика.
Это означает, что существует такая окрестность точки $x_0$, что при переходе через эту точку кривая меняет свою выпуклость с выпуклости вверх на выпуклость вниз, или наоборот. В точке перегиба график функции "переходит" со своей касательной с одной стороны на другую.

Ответ: Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой меняется направление ее выпуклости.

5. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба функции и докажите его.

Теорема (необходимое условие точки перегиба):
Если функция $f(x)$ имеет вторую производную в точке $x_0$ и точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба, то $f''(x_0) = 0$.
Доказательство:
Предположим противное: пусть $x_0$ — точка перегиба, но $f''(x_0) \neq 0$.
Рассмотрим случай, когда $f''(x_0) > 0$.
Разложим функцию $f(x)$ по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0$:
$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2) $
Рассмотрим разность $f(x) - y_{кас}(x)$, где $y_{кас}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ — уравнение касательной в точке $x_0$.
$ f(x) - y_{кас}(x) = \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2) $
В достаточно малой окрестности точки $x_0$ знак этой разности определяется знаком главного члена $\frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$.
Поскольку $(x - x_0)^2 > 0$ для всех $x \neq x_0$ и мы предположили, что $f''(x_0) > 0$, то разность $f(x) - y_{кас}(x)$ будет положительной как слева, так и справа от точки $x_0$. Это означает, что график функции $f(x)$ лежит выше касательной в проколотой окрестности точки $x_0$, то есть функция выпукла вниз в этой окрестности. Но это противоречит определению точки перегиба, согласно которому направление выпуклости должно меняться.
Аналогичное противоречие возникает, если предположить, что $f''(x_0) < 0$ (тогда график будет лежать ниже касательной с обеих сторон).
Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и должно выполняться равенство $f''(x_0) = 0$.

Ответ: Если $x_0$ — точка перегиба и в этой точке существует вторая производная, то она равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

6. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции и докажите его.

Теорема (достаточное условие точки перегиба):
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба.
Доказательство:
Пусть при переходе через $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, например, с минуса на плюс. Это означает, что существует такое $\delta > 0$, что:
1. Для всех $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ выполняется $f''(x) < 0$.
2. Для всех $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ выполняется $f''(x) > 0$.
Из достаточного условия выпуклости (вопрос 3) следует, что на интервале $(x_0 - \delta, x_0)$ функция $f(x)$ выпукла вверх, а на интервале $(x_0, x_0 + \delta)$ — выпукла вниз.
Поскольку в точке $x_0$ происходит смена направления выпуклости, то по определению точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба.
Случай, когда $f''(x)$ меняет знак с плюса на минус, доказывается аналогично.

Ответ: Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то $x_0$ является точкой перегиба.

7. Сформулируйте полную схему исследования функции и поясните ее. Чем отличается эта схема от упрощенной схемы из пункта 7.6.2)?

Полная схема исследования функции и построения графика:
1. Область определения. Найти множество всех значений $x$, для которых функция определена.
2. Свойства функции. Исследовать функцию на четность ($f(-x) = f(x)$), нечетность ($f(-x) = -f(x)$) и периодичность. Это позволяет упростить исследование и построение, например, построить график только для $x \ge 0$ для четной/нечетной функции.
3. Точки пересечения с осями координат. Найти точку пересечения с осью $Oy$, вычислив $f(0)$, и точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $f(x)=0$.
4. Асимптоты. Найти вертикальные асимптоты (в точках разрыва), а также горизонтальные и наклонные асимптоты при $x \to \pm\infty$.
5. Исследование с помощью первой производной.
а) Найти производную $f'(x)$.
б) Найти критические точки (где $f'(x)=0$ или не существует).
в) Определить промежутки возрастания ($f'(x)>0$) и убывания ($f'(x)<0$) функции.
г) Найти точки локального максимума и минимума (экстремумы).
6. Исследование с помощью второй производной.
а) Найти вторую производную $f''(x)$.
б) Найти точки, где $f''(x)=0$ или не существует (потенциальные точки перегиба).
в) Определить промежутки выпуклости вверх ($f''(x)<0$) и выпуклости вниз ($f''(x)>0$).
г) Найти точки перегиба.
7. Построение графика. На основе всей полученной информации (ключевые точки, асимптоты, характер монотонности и выпуклости) построить эскиз графика функции.

Отличие полной схемы от упрощенной:
Предполагая, что "упрощенная схема" — это стандартная схема исследования без анализа выпуклости, можно утверждать следующее.
Ключевое отличие полной схемы от упрощенной заключается в наличии пункта 6: Исследование с помощью второй производной.
- Упрощенная схема позволяет определить общую форму графика: где он возрастает, убывает, где находятся его "вершины" и "впадины" (экстремумы). Она включает шаги 1-5 и 7.
- Полная схема, благодаря анализу второй производной, дает более точное и детальное представление о поведении функции. Она не просто показывает, что график идет вверх, но и как он это делает: изгибаясь "куполом" вверх (выпуклость вверх) или "чашей" вниз (выпуклость вниз). Включение в анализ точек перегиба позволяет точно указать места, где кривизна графика меняет свое направление. Это критически важно для точного построения графиков многих функций, особенно немонотонных.

Ответ: Полная схема исследования функции включает в себя семь этапов, от нахождения области определения до построения графика. Ее основное отличие от упрощенной схемы — это наличие этапа исследования функции на выпуклость и нахождения точек перегиба с помощью второй производной, что позволяет построить более точный и детальный график.