Номер 7.133, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.133. 1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

2) $y = \frac{2}{x^2 + x + 1}$

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$

4) $y = \frac{x - 1}{x^2 - 4}$

1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = y(x)$.
Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{1}{0^2-1} = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x^2-1} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель равен 1. Точек пересечения с осью Ox нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$.
$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$, $\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-1} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \left(\frac{1}{x^2-1}\right)' = -\frac{(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$.
Критическая точка: $y' = 0 \Rightarrow -2x=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=0$ является точкой локального максимума. $y(0) = -1$.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \left(-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\right)' = -\frac{2(x^2-1)^2 - 2x \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}$.
$y'' = 0$ не имеет решений, так как $6x^2+2 > 0$ для всех $x$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, $x^2-1 > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-1, 1)$, $x^2-1 < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
Точек перегиба нет.

Ответ: Сводная таблица исследования:

2) $y = \frac{2}{x^2 + x + 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + x + 1$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Корней нет. Знаменатель никогда не равен нулю и всегда положителен.
Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - x + 1} = \frac{2}{x^2 - x + 1}$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{2}{1} = 2$. Точка $(0, 2)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{2}{x^2+x+1} = 0$. Решений нет. Пересечений с Ox нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: нет, так как знаменатель не обращается в ноль.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2+x+1} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \left(\frac{2}{x^2+x+1}\right)' = -2 \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$.
Критическая точка: $y'=0 \Rightarrow 2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.
- При $x < -1/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > -1/2$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=-1/2$ является точкой максимума. $y(-1/2) = \frac{2}{1/4-1/2+1} = \frac{2}{3/4} = 8/3$.
Максимум в точке $(-0.5, 8/3)$.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{12x(x+1)}{(x^2+x+1)^3}$.
$y''=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-1$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (-1, 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x=-1$ ($y(-1)=2$) и $x=0$ ($y(0)=2$). Точки $(-1, 2)$ и $(0, 2)$.

Ответ: Сводная таблица исследования:

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2-1} = -\frac{x}{x^2-1} = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{x^2-1} = -\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x^2-1} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \frac{1(x^2-1)-x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$.
Так как $x^2+1>0$ и $(x^2-1)^2>0$, то $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Функция убывает на каждом из интервалов: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Экстремумов нет.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$y''=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: Сводная таблица исследования:

4) $y = \frac{x-1}{x^2 - 4}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{-x-1}{(-x)^2-4} = \frac{-(x+1)}{x^2-4}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{-1}{-4} = 1/4$. Точка $(0, 1/4)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x-1}{x^2-4} = +\infty$, $\lim_{x \to 2^-} \frac{x-1}{x^2-4} = -\infty$.
$\lim_{x \to -2^+} \frac{x-1}{x^2-4} = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} \frac{x-1}{x^2-4} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{x^2-4} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \frac{1(x^2-4)-(x-1)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2+2x-4}{(x^2-4)^2}$.
$y'=0 \Rightarrow -x^2+2x-4=0 \Rightarrow x^2-2x+4=0$. Дискриминант $D = 4-16=-12 < 0$. Корней нет. Числитель $-(x^2-2x+4) = -((x-1)^2+3)$ всегда отрицателен. Значит, $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{2(x^3-3x^2+12x-4)}{(x^2-4)^3}$.
Найдем корень числителя $g(x) = x^3-3x^2+12x-4$. $g'(x) = 3x^2-6x+12=3((x-1)^2+3)>0$, значит $g(x)$ монотонно возрастает и имеет один корень. $g(0)=-4, g(1)=6$, корень $x_0 \in (0,1)$, примерно $x_0 \approx 0.35$. - $x \in (-\infty, -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (-2, x_0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (x_0, 2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (2, \infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка перегиба при $x_0 \approx 0.35$. $y(x_0) \approx 0.17$.

Ответ: Сводная таблица исследования: