Номер 7.135, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.135. 1) $y = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = x + \sin x$;

4) $y = \cos 2x - x + 1$.

1) Дана функция $y = \frac{1}{3}\sin(3x - \frac{\pi}{4})$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае $y = f(u) = \frac{1}{3}\sin u$, а $u = g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем производную внешней функции по $u$: $f'(u) = (\frac{1}{3}\sin u)' = \frac{1}{3}\cos u$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$: $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{4})' = (3x)' - (\frac{\pi}{4})' = 3 - 0 = 3$.

Теперь перемножим результаты, подставив вместо $u$ его выражение через $x$:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{3}\cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = \cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $y' = \cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

2) Дана функция $y = 2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

Эта функция также является сложной. Применим цепное правило. Здесь $y = f(u) = 2\cos u$, а $u = g(x) = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (2\cos u)' = -2\sin u$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})' = (\frac{1}{2}x)' + (\frac{\pi}{3})' = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$.

Перемножаем производные:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -2\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $y' = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

3) Дана функция $y = x + \sin x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы двух функций: $(u+v)' = u' + v'$.

Находим производную каждого слагаемого в отдельности:

Производная от $x$: $(x)' = 1$.

Производная от $\sin x$: $(\sin x)' = \cos x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Ответ: $y' = 1 + \cos x$.

4) Дана функция $y = \cos 2x - x + 1$.

Используем правило дифференцирования суммы и разности функций. Найдём производную каждого члена выражения.

$y' = (\cos 2x)' - (x)' + (1)'$.

Производная первого члена $\cos 2x$ находится по цепному правилу: $(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.

Производная второго члена: $(x)' = 1$.

Производная третьего члена (константы): $(1)' = 0$.

Теперь объединяем результаты:

$y' = -2\sin 2x - 1 + 0 = -2\sin 2x - 1$.

Ответ: $y' = -2\sin 2x - 1$.