Номер 7.134, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.134. 1) $y = x\sqrt{2-x};$

2) $y = x^2\sqrt{1+x};$

3) $y = \sqrt[3]{x^3-3x};$

4) $y = \sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x}}}.$

1) Дана функция $y = x\sqrt{2-x}$.

Найдем область определения функции. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 2]$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u = x$ и $v = \sqrt{2-x}$.

Находим производные от $u$ и $v$:

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\sqrt{2-x})' = \frac{(2-x)'}{2\sqrt{2-x}} = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}\right) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

Производная определена при $2-x > 0$, то есть при $x < 2$.

Ответ: $y' = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

2) Дана функция $y = x^2\sqrt{1+x}$.

Область определения функции: выражение под корнем $1+x \ge 0$, что означает $x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1, \infty)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2$ и $v = \sqrt{1+x}$.

Находим производные от $u$ и $v$:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = (\sqrt{1+x})' = \frac{(1+x)'}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{1+x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Приводим к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{2x\sqrt{1+x} \cdot 2\sqrt{1+x} + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x(1+x) + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x + 4x^2 + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

В числителе можно вынести $x$ за скобки: $y' = \frac{x(5x+4)}{2\sqrt{1+x}}$.

Производная определена при $1+x > 0$, то есть при $x > -1$.

Ответ: $y' = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

3) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 3x}$.

Область определения: кубический корень, как и многочлен под ним, определен для любых действительных чисел. $D(y) = (-\infty, \infty)$.

Представим функцию в виде степени: $y = (x^3 - 3x)^{1/3}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x^3 - 3x$. Тогда производная $u' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Находим производную $y$:

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x^2 - 3) = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 3)$.

Перепишем выражение в виде дроби:

$y' = \frac{3x^2 - 3}{3(x^3 - 3x)^{2/3}} = \frac{3(x^2 - 1)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}} = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}}$.

Производная не определена в точках, где знаменатель равен нулю, то есть где $x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2-3)=0$. Это точки $x=0$, $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}}$.

4) Дана функция $y = \sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

Найдем область определения функции, анализируя каждый корень от внутреннего к внешнему.

1. Внутренний корень $\sqrt{x}$: требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Средний корень $\sqrt{x - \sqrt{x}}$: требует, чтобы $x - \sqrt{x} \ge 0$. Так как $x \ge 0$, можно записать $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{x} = 0$ (то есть $x=0$) или $\sqrt{x} - 1 \ge 0$ (то есть $\sqrt{x} \ge 1$, что означает $x \ge 1$).

3. Внешний корень $\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}$: требует, чтобы $x + \sqrt{x - \sqrt{x}} \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$ из п.2, так как $x \ge 0$ и $\sqrt{x - \sqrt{x}} \ge 0$, следовательно их сумма также неотрицательна.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{0\} \cup [1, \infty)$.

Для нахождения производной будем последовательно применять правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$y' = \frac{(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})'}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}}$.

Найдем производную числителя: $(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})' = 1 + (\sqrt{x - \sqrt{x}})'$.

В свою очередь, $(\sqrt{x - \sqrt{x}})' = \frac{(x - \sqrt{x})'}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

И производная выражения в числителе: $(x - \sqrt{x})' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь соберем все вместе, двигаясь в обратном порядке.

$(\sqrt{x - \sqrt{x}})' = \frac{1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

Тогда $(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})' = 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

И наконец, производная исходной функции:

$y' = \frac{1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} \left( 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x(x - \sqrt{x})}} \right)$.

Производная определена при $x>1$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} \left( 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}} \right)$.