Номер 7.128, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.128–7.130 определите промежутки выпуклости и точки перегиба данных функций.

7. 128.

1) $y = 3x^2 - x^3$;

2) $y = 2x^2 - x^4$;

3) $y = (x + 3)^2$;

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17.$

1) $y = 3x^2 - x^3$

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную.

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную:

$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Находим вторую производную:

$y'' = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$6 - 6x = 0$

$6x = 6$

$x = 1$.

Теперь определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x < 1$ (например, $x=0$), $y''(0) = 6 - 6 \cdot 0 = 6 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 1)$ функция выпукла вниз (вогнута).

При $x > 1$ (например, $x=2$), $y''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = -6 < 0$. Следовательно, на интервале $(1; +\infty)$ функция выпукла вверх.

Поскольку в точке $x=1$ вторая производная меняет знак, эта точка является точкой перегиба. Найдем ординату этой точки:

$y(1) = 3(1)^2 - (1)^3 = 3 - 1 = 2$.

Точка перегиба имеет координаты $(1; 2)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутке $(-\infty; 1)$, выпукла вверх на промежутке $(1; +\infty)$, точка перегиба $(1; 2)$.

2) $y = 2x^2 - x^4$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую и вторую производные:

$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

$y'' = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$4 - 12x^2 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Определим знак $y'' = 4(1 - 3x^2)$ на каждом интервале. Это парабола с ветвями, направленными вниз.

При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ (например, $x=-1$), $y''(-1) = 4 - 12(-1)^2 = -8 < 0$. Функция выпукла вверх.

При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ (например, $x=0$), $y''(0) = 4 - 12(0)^2 = 4 > 0$. Функция выпукла вниз.

При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$ (например, $x=1$), $y''(1) = 4 - 12(1)^2 = -8 < 0$. Функция выпукла вверх.

В точках $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ знак второй производной меняется, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты. Поскольку $x^2 = 1/3$ в этих точках, то:

$y = 2x^2 - x^4 = 2(\frac{1}{3}) - (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6-1}{9} = \frac{5}{9}$.

Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, выпукла вниз на промежутке $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, точки перегиба $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$.

3) $y = (x + 3)^2$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Раскроем скобки: $y = x^2 + 6x + 9$.

Находим первую производную:

$y' = (x^2 + 6x + 9)' = 2x + 6$.

Находим вторую производную:

$y'' = (2x + 6)' = 2$.

Так как вторая производная $y'' = 2$ является постоянной положительной величиной ($y'' > 0$) для любого значения $x$, то функция является выпуклой вниз на всей своей области определения.

Поскольку вторая производная никогда не равна нулю и не меняет свой знак, точек перегиба у функции нет.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек перегиба нет.

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную:

$y' = (x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17)' = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$.

Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 + 12x^2 - 36x + 1)' = 12x^2 + 24x - 36$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$12x^2 + 24x - 36 = 0$.

Разделим уравнение на 12:

$x^2 + 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак $y'' = 12(x^2 + 2x - 3)$ на каждом интервале. График параболы $y=x^2+2x-3$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между корнями.

При $x \in (-\infty; -3)$, $y'' > 0$. Функция выпукла вниз.

При $x \in (-3; 1)$, $y'' < 0$. Функция выпукла вверх.

При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$. Функция выпукла вниз.

В точках $x = -3$ и $x = 1$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем ординаты этих точек:

При $x = -3$:

$y(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 - 18(-3)^2 + (-3) - 17 = 81 + 4(-27) - 18(9) - 3 - 17 = 81 - 108 - 162 - 20 = -209$.

При $x = 1$:

$y(1) = 1^4 + 4(1)^3 - 18(1)^2 + 1 - 17 = 1 + 4 - 18 + 1 - 17 = 6 - 35 = -29$.

Точки перегиба: $(-3; -209)$ и $(1; -29)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $(-3; 1)$, точки перегиба $(-3; -209)$ и $(1; -29)$.