Номер 7.131, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.131–7.139 исследуйте функции и постройте их график.

7. 131.

1) $y = x(2 - x)^2$;

2) $y = 0,2(x^3 - 6x^2 + 25)$;

3) $y = x^3 - 5x^2 + 8x$;

4) $y = 2x^3 - 3x + 1$.

1) Исследуем функцию $y = x(2 - x)^2$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0(2-0)^2 = 0$. Точка (0, 0).
С осью OX: при $y=0$, $x(2-x)^2 = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2$ (корень кратности 2). Точки (0, 0) и (2, 0). В точке (2, 0) график касается оси OX.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = -x(2 - (-x))^2 = -x(2+x)^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Производная и критические точки.
Раскроем скобки: $y = x(4 - 4x + x^2) = x^3 - 4x^2 + 4x$.
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 4x^2 + 4x)' = 3x^2 - 8x + 4$.
Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{12}{6} = 2$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty, 2/3)$, $(2/3, 2)$, $(2, +\infty)$.
При $x < 2/3$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $2/3 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=2/3$ — точка локального максимума. $y(2/3) = \frac{2}{3}(2-\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{27}$.
Точка $x=2$ — точка локального минимума. $y(2) = 2(2-2)^2 = 0$.
Экстремумы: максимум в точке $(2/3, 32/27)$, минимум в точке $(2, 0)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 8x + 4)' = 6x - 8$.
Приравняем к нулю: $6x - 8 = 0 \implies x = 8/6 = 4/3$.
При $x < 4/3$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 4/3$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = \frac{4}{3}(2-\frac{4}{3})^2 = \frac{4}{3} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{16}{27}$.
Точка перегиба: $(4/3, 16/27)$.

7. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2/3]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[2/3, 2]$. Точка локального максимума $(2/3, 32/27)$. Точка локального минимума $(2, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вниз на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 16/27)$. График функции представлен выше.

2) Исследуем функцию $y = 0,2(x^3 - 6x^2 + 25)$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0.2(25) = 5$. Точка (0, 5).
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - 6x^2 + 25 = 0$. Проверкой убеждаемся, что $x=5$ не является корнем. $5^3-6(5^2)+25 = 125-150+25=0$. Ошибка, $x=5$ является корнем. Давайте проверим еще раз: $y'(5) = 0.2(3(5^2)-12(5))=0.2(75-60)=3\ne 0$. Попробуем найти корни через разложение. Заметим, что $x=-1.75$ не является корнем, но $x=-1.79...$ является. $x^3 - 6x^2 + 25 = (x-5)(x^2 - x - 5)$ - это неверно. Правильное разложение: $x^3 - 6x^2 + 25 = (x+1.79...)(...)$. Точные корни: $x_1 \approx -1.79$, $x_2 \approx 2.79$, $x_3 = 5$. Точки: $(-1.79, 0)$, $(2.79, 0)$, $(5, 0)$.
Примечание: $x=5$ не является корнем, $5^3-6(5^2)+25 = 0$. Упс, является. $y(5)=0.2(125-150+25)=0$. Значит $(x-5)$ - множитель. $x^3-6x^2+25=(x-5)(x^2-x-5)$. Корни $x^2-x-5=0$ это $x = \frac{1 \pm \sqrt{1+20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Итак, точки пересечения с OX: $x_1=5$, $x_2 = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx 2.79$, $x_3 = \frac{1-\sqrt{21}}{2} \approx -1.79$.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = 0.2(-x^3 - 6(-x)^2 + 25) = 0.2(-x^3 - 6x^2 + 25)$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 0.2(3x^2 - 12x) = 0.6x(x-4)$.
Критические точки: $y'=0 \implies x=0, x=4$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $0 < x < 4$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 4$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=0$ — точка максимума. $y(0)=5$. Max: $(0, 5)$.
$x=4$ — точка минимума. $y(4) = 0.2(64 - 96 + 25) = 0.2(-7) = -1.4$. Min: $(4, -1.4)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = (0.6x^2 - 2.4x)' = 1.2x - 2.4 = 1.2(x-2)$.
Точка перегиба при $x=2$. $y(2) = 0.2(8 - 24 + 25) = 0.2(9) = 1.8$. Точка перегиба: $(2, 1.8)$.
При $x < 2$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 2$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$, убывает на $[0, 4]$. Точка локального максимума $(0, 5)$. Точка локального минимума $(4, -1.4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 2)$ и выпуклый вниз на $(2, +\infty)$. Точка перегиба $(2, 1.8)$. График функции представлен выше.

3) Исследуем функцию $y = x^3 - 5x^2 + 8x$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка (0, 0).
С осью OX: при $y=0$, $x(x^2 - 5x + 8) = 0$. $x_1=0$. Для $x^2 - 5x + 8 = 0$ дискриминант $D = 25 - 32 = -7 < 0$, действительных корней нет. Единственная точка пересечения — (0, 0).

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 + 8(-x) = -x^3 - 5x^2 - 8x$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 3x^2 - 10x + 8$.
$y'=0 \implies 3x^2 - 10x + 8 = 0$. $D = 100 - 96 = 4$. $x_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{6}$.
Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = 4/3$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < 4/3$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $4/3 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=4/3 \approx 1.33$ — точка максимума. $y(4/3) = 112/27 \approx 4.15$. Max: $(4/3, 112/27)$.
$x=2$ — точка минимума. $y(2) = 8 - 20 + 16 = 4$. Min: $(2, 4)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = 6x - 10$. Точка перегиба при $x = 10/6 = 5/3 \approx 1.67$.
$y(5/3) = 110/27 \approx 4.07$. Точка перегиба: $(5/3, 110/27)$.
При $x < 5/3$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 5/3$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 4/3]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[4/3, 2]$. Точка локального максимума $(4/3, 112/27)$. Точка локального минимума $(2, 4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 5/3)$ и выпуклый вниз на $(5/3, +\infty)$. Точка перегиба $(5/3, 110/27)$. График функции представлен выше.

4) Исследуем функцию $y = 2x^3 - 3x + 1$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=1$. Точка (0, 1).
С осью OX: при $y=0$, $2x^3 - 3x + 1 = 0$. Заметим, что сумма коэффициентов $2-3+1=0$, значит $x=1$ — корень.
Делим $(2x^3 - 3x + 1)$ на $(x-1)$, получаем $(x-1)(2x^2+2x-1)=0$.
Решаем $2x^2+2x-1=0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Корни: $x_1=1$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.37$, $x_3 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.37$.
Точки пересечения: $(1, 0)$, $(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x) + 1 = -2x^3 + 3x + 1$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 6x^2 - 3 = 3(2x^2-1)$.
$y'=0 \implies 2x^2=1 \implies x = \pm 1/\sqrt{2} = \pm \sqrt{2}/2 \approx \pm 0.707$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < -\sqrt{2}/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $-\sqrt{2}/2 < x < \sqrt{2}/2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > \sqrt{2}/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=-\sqrt{2}/2$ — точка максимума. $y(-\sqrt{2}/2) = 1+\sqrt{2} \approx 2.41$. Max: $(-\sqrt{2}/2, 1+\sqrt{2})$.
$x=\sqrt{2}/2$ — точка минимума. $y(\sqrt{2}/2) = 1-\sqrt{2} \approx -0.41$. Min: $(\sqrt{2}/2, 1-\sqrt{2})$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = 12x$. Точка перегиба при $x = 0$.
$y(0)=1$. Точка перегиба $(0, 1)$, совпадает с пересечением оси OY.
При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}/2]$ и $[\sqrt{2}/2, +\infty)$, убывает на $[-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2]$. Точка локального максимума $(-\sqrt{2}/2, 1+\sqrt{2})$. Точка локального минимума $(\sqrt{2}/2, 1-\sqrt{2})$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 1)$. График функции представлен выше.