Номер 7.137, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.137. 1) $y = \frac{1}{3 + 2\cos x};$

3) $y = \text{arctg}x + \text{arcctg}\frac{1}{x};$

2) $y = \frac{1 + \cos x}{3 - \sin x};$

4) $y = \arcsin\frac{2x}{1 + x^2}.$

1) Дана функция $y = \frac{1}{3 + 2\cos x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 1$ и $v = 3 + 2\cos x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (1)' = 0$

$v' = (3 + 2\cos x)' = (3)' + (2\cos x)' = 0 + 2(-\sin x) = -2\sin x$.

Подставляем эти значения в формулу производной дроби:

$y' = \frac{0 \cdot (3 + 2\cos x) - 1 \cdot (-2\sin x)}{(3 + 2\cos x)^2} = \frac{2\sin x}{(3 + 2\cos x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2\sin x}{(3 + 2\cos x)^2}$.

2) Дана функция $y = \frac{1 + \cos x}{3 - \sin x}$.

Используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 1 + \cos x$ и $v = 3 - \sin x$.

Находим производные:

$u' = (1 + \cos x)' = -\sin x$.

$v' = (3 - \sin x)' = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-\sin x)(3 - \sin x) - (1 + \cos x)(-\cos x)}{(3 - \sin x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{-3\sin x + \sin^2 x + \cos x + \cos^2 x}{(3 - \sin x)^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$y' = \frac{1 - 3\sin x + \cos x}{(3 - \sin x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1 - 3\sin x + \cos x}{(3 - \sin x)^2}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg}\frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Находим производную как сумму производных двух слагаемых: $y' = (\operatorname{arctg} x)' + (\operatorname{arcctg}\frac{1}{x})'$.

Производная арктангенса: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \frac{1}{x}$.

Тогда $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.

Производная $u' = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.

Следовательно, $(\operatorname{arcctg}\frac{1}{x})' = -\frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.

Складываем производные:

$y' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{1+x^2}$ при $x \neq 0$.

4) Дана функция $y = \arcsin\frac{2x}{1+x^2}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь $f(u) = \arcsin u$ и $g(x) = \frac{2x}{1+x^2}$.

$f'(u) = (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Находим производную $g'(x)$ по правилу дифференцирования дроби:

$g'(x) = (\frac{2x}{1+x^2})' = \frac{(2x)'(1+x^2) - 2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.

Теперь подставляем $u = g(x)$ в $f'(u)$:

$\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2 - (2x)^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+2x^2+x^4-4x^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1-2x^2+x^4}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\frac{|1-x^2|}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{|1-x^2|}$.

Заметим, что производная не существует при $|1-x^2|=0$, то есть при $x=\pm1$.

Собираем все вместе:

$y' = \frac{1+x^2}{|1-x^2|} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $|x|<1$, то $1-x^2 > 0$ и $|1-x^2| = 1-x^2$. Тогда $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{2}{1+x^2}$.

2. Если $|x|>1$, то $1-x^2 < 0$ и $|1-x^2| = -(1-x^2)$. Тогда $y' = \frac{2(1-x^2)}{-(1-x^2)(1+x^2)} = -\frac{2}{1+x^2}$.

Результат можно записать в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y' = \begin{cases} \frac{2}{1+x^2}, & \text{если } |x|<1 \\ -\frac{2}{1+x^2}, & \text{если } |x|>1 \end{cases}$.