Страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.136. 1) $y = \sin x - \cos 2x;$

2) $y = \sin x - \operatorname{tg} x;$

3) $y = \sin^2 x + \cos x;$

4) $y = \sin 2x + \cos x.$

1) Дана функция $y = \sin x - \cos 2x$. Для нахождения ее производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и правилом дифференцирования сложной функции.
Производная разности функций равна разности их производных:
$y' = (\sin x - \cos 2x)' = (\sin x)' - (\cos 2x)'$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Для нахождения производной от $\cos 2x$ применим правило для сложной функции. Пусть внутренняя функция $u = 2x$, а внешняя $f(u) = \cos u$. Тогда производная будет равна $(\cos(2x))' = f'(u) \cdot u' = (-\sin u) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
Собираем все вместе:
$y' = \cos x - (-2\sin 2x) = \cos x + 2\sin 2x$.
Ответ: $y' = \cos x + 2\sin 2x$.

2) Дана функция $y = \sin x - \operatorname{tg} x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования разности:
$y' = (\sin x - \operatorname{tg} x)' = (\sin x)' - (\operatorname{tg} x)'$.
Находим производные каждого слагаемого:
$(\sin x)' = \cos x$.
$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Подставляем найденные производные в выражение:
$y' = \cos x - \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \cos x - \frac{1}{\cos^2 x}$.

3) Дана функция $y = \sin^2 x + \cos x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования суммы:
$y' = (\sin^2 x + \cos x)' = (\sin^2 x)' + (\cos x)'$.
Для нахождения производной от $\sin^2 x$ используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \sin x$, тогда $y = u^2$. Производная будет $(u^2)' = 2u \cdot u'$.
$(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, это можно записать как $\sin 2x$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Складываем полученные результаты:
$y' = 2\sin x \cos x - \sin x$.
Или в другом виде: $y' = \sin 2x - \sin x$.
Ответ: $y' = 2\sin x \cos x - \sin x$.

4) Дана функция $y = \sin 2x + \cos x$. Найдем ее производную $y'$.
Используем правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции.
$y' = (\sin 2x + \cos x)' = (\sin 2x)' + (\cos x)'$.
Для нахождения производной от $\sin 2x$ применим правило для сложной функции. Пусть $u = 2x$, тогда $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos 2x$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Собираем все вместе:
$y' = 2\cos 2x - \sin x$.
Ответ: $y' = 2\cos 2x - \sin x$.

7.137. 1) $y = \frac{1}{3 + 2\cos x};$

3) $y = \text{arctg}x + \text{arcctg}\frac{1}{x};$

2) $y = \frac{1 + \cos x}{3 - \sin x};$

4) $y = \arcsin\frac{2x}{1 + x^2}.$

1) Дана функция $y = \frac{1}{3 + 2\cos x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 1$ и $v = 3 + 2\cos x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u' = (1)' = 0$

$v' = (3 + 2\cos x)' = (3)' + (2\cos x)' = 0 + 2(-\sin x) = -2\sin x$.

Подставляем эти значения в формулу производной дроби:

$y' = \frac{0 \cdot (3 + 2\cos x) - 1 \cdot (-2\sin x)}{(3 + 2\cos x)^2} = \frac{2\sin x}{(3 + 2\cos x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2\sin x}{(3 + 2\cos x)^2}$.

2) Дана функция $y = \frac{1 + \cos x}{3 - \sin x}$.

Используем правило дифференцирования дроби $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 1 + \cos x$ и $v = 3 - \sin x$.

Находим производные:

$u' = (1 + \cos x)' = -\sin x$.

$v' = (3 - \sin x)' = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-\sin x)(3 - \sin x) - (1 + \cos x)(-\cos x)}{(3 - \sin x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{-3\sin x + \sin^2 x + \cos x + \cos^2 x}{(3 - \sin x)^2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$y' = \frac{1 - 3\sin x + \cos x}{(3 - \sin x)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1 - 3\sin x + \cos x}{(3 - \sin x)^2}$.

3) Дана функция $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg}\frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x \neq 0$.

Находим производную как сумму производных двух слагаемых: $y' = (\operatorname{arctg} x)' + (\operatorname{arcctg}\frac{1}{x})'$.

Производная арктангенса: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для второго слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = \frac{1}{x}$.

Тогда $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.

Производная $u' = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.

Следовательно, $(\operatorname{arcctg}\frac{1}{x})' = -\frac{1}{1 + (\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.

Складываем производные:

$y' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{1+x^2}$ при $x \neq 0$.

4) Дана функция $y = \arcsin\frac{2x}{1+x^2}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь $f(u) = \arcsin u$ и $g(x) = \frac{2x}{1+x^2}$.

$f'(u) = (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Находим производную $g'(x)$ по правилу дифференцирования дроби:

$g'(x) = (\frac{2x}{1+x^2})' = \frac{(2x)'(1+x^2) - 2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.

Теперь подставляем $u = g(x)$ в $f'(u)$:

$\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2 - (2x)^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+2x^2+x^4-4x^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1-2x^2+x^4}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}} = \frac{1}{\frac{|1-x^2|}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{|1-x^2|}$.

Заметим, что производная не существует при $|1-x^2|=0$, то есть при $x=\pm1$.

Собираем все вместе:

$y' = \frac{1+x^2}{|1-x^2|} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $|x|<1$, то $1-x^2 > 0$ и $|1-x^2| = 1-x^2$. Тогда $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{2}{1+x^2}$.

2. Если $|x|>1$, то $1-x^2 < 0$ и $|1-x^2| = -(1-x^2)$. Тогда $y' = \frac{2(1-x^2)}{-(1-x^2)(1+x^2)} = -\frac{2}{1+x^2}$.

Результат можно записать в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y' = \begin{cases} \frac{2}{1+x^2}, & \text{если } |x|<1 \\ -\frac{2}{1+x^2}, & \text{если } |x|>1 \end{cases}$.

7.138. 1) $y = x \sin x;$

2) $y = \operatorname{tg} x \cdot \cos x;$

3) $|y| = \cos x.$

1) Чтобы определить четность функции $y = f(x) = x \sin x$, необходимо проверить выполнение равенства $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции). Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x) \sin(-x)$

Используем свойства тригонометрических функций: синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

Подставим это в наше выражение:

$f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x$

В результате мы получили, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.

Ответ: четная функция.

2) Рассмотрим функцию $y = f(x) = \text{tg } x \cdot \cos x$.

Область определения функции $D(f)$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых $\text{tg } x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число. Данная область определения симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \text{tg}(-x) \cdot \cos(-x)$

Используем свойства четности тригонометрических функций: тангенс — нечетная функция ($\text{tg}(-x) = -\text{tg } x$), а косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$).

Подставляем эти свойства в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-\text{tg } x) \cdot (\cos x) = -(\text{tg } x \cdot \cos x) = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Отметим, что на области определения функцию можно упростить: $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$. Функция $y = \sin x$ является нечетной, что подтверждает полученный результат.

Ответ: нечетная функция.

3) Уравнение $|y| = \cos x$ задает не функцию, а математическое отношение, поскольку одному значению $x$ (для которого $\cos x > 0$) соответствует два значения $y$ (а именно, $y = \cos x$ и $y = -\cos x$). В этом случае понятие четности связывают с симметрией графика данного отношения.

График считается четным, если он симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если точка $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x, y)$ также должна ему принадлежать.

Проверим это свойство. Пусть точка с координатами $(x, y)$ удовлетворяет нашему уравнению, то есть $|y| = \cos x$.

Теперь подставим в уравнение координаты точки $(-x, y)$: $|y| = \cos(-x)$.

Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos x$.

В результате мы получаем $|y| = \cos x$, что совпадает с исходным уравнением. Это доказывает, что если точка $(x,y)$ лежит на графике, то и точка $(-x,y)$ тоже на нем лежит.

Поскольку график отношения симметричен относительно оси OY, его можно охарактеризовать как четное.

Ответ: четная функция (отношение, график которого симметричен относительно оси ординат).

7.139.

1) $y = x|x| + 1;$

2) $y = \frac{|x - 1|}{x - 1}(x^2 - 4).$

1) $y = x|x| + 1$

Для построения графика этой функции, раскроем модуль $|x|$. Модуль числа $x$ равен $x$, если $x \ge 0$, и равен $-x$, если $x < 0$. Таким образом, мы рассматриваем два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x \cdot x + 1 = x^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$. Мы строим эту параболу только для неотрицательных значений $x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x \cdot (-x) + 1 = -x^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в той же точке $(0, 1)$. Мы строим эту параболу только для отрицательных значений $x$.

Объединяя эти два случая, получаем график функции, состоящий из двух ветвей парабол, сходящихся в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = x|x| + 1$ представляет собой правую ветвь параболы $y = x^2 + 1$ для $x \ge 0$ и левую ветвь параболы $y = -x^2 + 1$ для $x < 0$. Обе части графика соединяются в точке $(0, 1)$.

2) $y = \frac{|x-1|}{x-1}(x^2 - 4)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Далее рассмотрим выражение $\frac{|x-1|}{x-1}$. Это выражение равно $1$ при $x-1 > 0$ (то есть $x > 1$) и равно $-1$ при $x-1 < 0$ (то есть $x < 1$).

1. Если $x > 1$, функция принимает вид:
$y = 1 \cdot (x^2 - 4) = x^2 - 4$.
Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -4)$. Мы строим эту параболу только для $x > 1$. В точке $x=1$ функция не определена. Найдем предел справа: $\lim_{x\to1^+} (x^2 - 4) = 1^2 - 4 = -3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(1, -3)$.

2. Если $x < 1$, функция принимает вид:
$y = -1 \cdot (x^2 - 4) = -x^2 + 4$.
Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4)$. Мы строим эту параболу только для $x < 1$. В точке $x=1$ функция не определена. Найдем предел слева: $\lim_{x\to1^-} (-x^2 + 4) = -1^2 + 4 = 3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(1, 3)$.

График состоит из двух частей парабол, с разрывом в точке $x=1$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 1$ это часть параболы $y = x^2 - 4$, начинающаяся от выколотой точки $(1, -3)$; для $x < 1$ это часть параболы $y = -x^2 + 4$, заканчивающаяся в выколотой точке $(1, 3)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.

7.140. Даны числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$. При каких значениях $x$ функция $f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \ldots + (x - a_n)^2$ принимает минимальное значение?

Заданная функция $f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x - a_n)^2$ представляет собой сумму квадратов. Мы можем найти значение $x$, при котором эта функция достигает минимума, используя методы дифференциального исчисления.

Для этого найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$. Запишем функцию в более компактном виде с использованием знака суммы: $f(x) = \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2$.

Производная суммы равна сумме производных, поэтому: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)^2 \right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} (x - a_i)^2$. Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем: $f'(x) = \sum_{i=1}^{n} 2(x - a_i) \cdot \frac{d}{dx}(x - a_i) = \sum_{i=1}^{n} 2(x - a_i) \cdot 1 = 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i)$.

Чтобы найти точки экстремума (минимума или максимума), приравняем первую производную к нулю: $f'(x) = 0$ $2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) = 0$ Распишем сумму: $(x - a_1) + (x - a_2) + ... + (x - a_n) = 0$ $nx - (a_1 + a_2 + ... + a_n) = 0$ $nx = \sum_{i=1}^{n} a_i$ Отсюда находим единственную критическую точку: $x = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx} (f'(x)) = \frac{d}{dx} \left( 2 \sum_{i=1}^{n} (x - a_i) \right) = 2 \sum_{i=1}^{n} \frac{d}{dx} (x - a_i) = 2 \sum_{i=1}^{n} 1 = 2n$.

Поскольку количество чисел $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), вторая производная $f''(x) = 2n$ всегда положительна. Это означает, что найденная критическая точка является точкой минимума функции $f(x)$.

Таким образом, функция $f(x)$ принимает минимальное значение, когда $x$ равен среднему арифметическому чисел $a_1, a_2, ..., a_n$.

Ответ: Функция принимает минимальное значение при $x = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$.

7.141. Покажите, что точки перегиба функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы найти точки перегиба графика функции, необходимо найти ее вторую производную, приравнять ее к нулю и найти корни получившегося уравнения. Эти корни будут являться абсциссами точек перегиба, если при переходе через них вторая производная меняет свой знак.

Заданная функция: $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$.

1. Найдем первую производную функции:$y' = (3x^5 - 10x^3 + 3x)' = 15x^4 - 30x^2 + 3$.

2. Найдем вторую производную функции:$y'' = (15x^4 - 30x^2 + 3)' = 60x^3 - 60x$.

3. Найдем абсциссы точек перегиба, решив уравнение $y'' = 0$:$60x^3 - 60x = 0$
$60x(x^2 - 1) = 0$
$60x(x - 1)(x + 1) = 0$Корнями уравнения являются $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Поскольку все корни различны, вторая производная будет менять знак при переходе через каждую из этих точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.

4. Найдем ординаты (координаты y) этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$:
При $x_1 = -1$: $y_1 = 3(-1)^5 - 10(-1)^3 + 3(-1) = -3 - 10(-1) - 3 = -3 + 10 - 3 = 4$.
Координаты первой точки перегиба: $A(-1, 4)$.
При $x_2 = 0$: $y_2 = 3(0)^5 - 10(0)^3 + 3(0) = 0$.
Координаты второй точки перегиба: $B(0, 0)$.
При $x_3 = 1$: $y_3 = 3(1)^5 - 10(1)^3 + 3(1) = 3 - 10 + 3 = -4$.
Координаты третьей точки перегиба: $C(1, -4)$.

5. Теперь необходимо проверить, лежат ли точки $A(-1, 4)$, $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$ на одной прямой. Три точки лежат на одной прямой, если угловые коэффициенты прямых, проведенных через любые две пары этих точек, равны.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой, проходящей через точки A и B:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 4}{0 - (-1)} = \frac{-4}{1} = -4$.

Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой, проходящей через точки B и C:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-4 - 0}{1 - 0} = \frac{-4}{1} = -4$.

Поскольку $k_{AB} = k_{BC} = -4$, все три точки перегиба лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой можно найти, используя точку $B(0,0)$ и угловой коэффициент $k=-4$:$y - 0 = -4(x - 0)$, что дает $y = -4x$.

Таким образом, мы показали, что все точки перегиба данной функции лежат на прямой $y=-4x$.

Ответ: Точки перегиба функции $A(-1, 4)$, $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$ лежат на одной прямой $y = -4x$, что и требовалось доказать.

7.142. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства:

1) $x^3 - 4x < 0;$

2) $\frac{x^2 + x}{x-3} < 0.$

1) Чтобы решить неравенство $x^3 - 4x < 0$, сначала разложим его левую часть на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) < 0$

Далее применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$x(x - 2)(x + 2) < 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$.

Таким образом, решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

Теперь найдем наибольшее целое отрицательное решение. Отрицательные решения находятся в интервале $(-\infty; -2)$. Целые числа в этом интервале: ..., -5, -4, -3. Наибольшим из них является -3.

Ответ: -3.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 + x}{x - 3} < 0$.

Разложим числитель на множители, вынеся $x$ за скобки:

$\frac{x(x + 1)}{x - 3} < 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x+1) = 0$, откуда $x=0$ и $x=-1$.

Нуль знаменателя: $x-3=0$, откуда $x=3$. Эта точка не входит в область определения функции.

Отметим точки -1, 0 и 3 на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=3$ обращает знаменатель в ноль.

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (знак «-»): $(-\infty; -1)$ и $(0; 3)$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 3)$.

Нам нужно найти наибольшее целое отрицательное решение. Оно находится в интервале $(-\infty; -1)$. Целые числа в этом интервале: ..., -4, -3, -2. Наибольшим из них является -2.

Ответ: -2.

7.143. Найдите корни уравнения:

1) $\sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x$;

2) $2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$.

1) Дано уравнение: $ \sin^4 x - \cos^4 x = \sin 2x $.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $.

Применим известные тригонометрические тождества:

Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Формула косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $. Из нее следует, что $ \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x $.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть уравнения:

$ (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x $.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно следующему:

$ -\cos 2x = \sin 2x $.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \sin 2x + \cos 2x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $ \cos 2x $. Мы можем это сделать, поскольку если бы $ \cos 2x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 2x = 0 $. Однако $ \sin(2x) $ и $ \cos(2x) $ не могут быть равны нулю одновременно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Следовательно, $ \cos 2x \neq 0 $.

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos 2x}{\cos 2x} = 0 $

$ \tan 2x + 1 = 0 $

$ \tan 2x = -1 $.

Находим общее решение для $ 2x $:

$ 2x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 2:

$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение: $ 2 \sin^2 x - \sqrt{3} \sin 2x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ и подставим ее в уравнение:

$ 2 \sin^2 x - \sqrt{3} (2 \sin x \cos x) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin x $ за скобки:

$ 2 \sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0 $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

Случай 1: $ 2 \sin x = 0 $.

$ \sin x = 0 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его корни:

$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим обе части на $ \cos x $. Это допустимо, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin x = 0 $, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \tan x = \sqrt{3} $.

Корни этого уравнения:

$ x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Объединяем решения из обоих случаев, чтобы получить полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $ x = \pi k; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.