Страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое случайная величина? Приведите пример.

2. Какие случайные величины называются дискретными?

3. Что такое закон распределения дискретной случайной величины? Как он составляется?

4. Какому условию должны удовлетворять вероятности в законе распределения? Почему?

5. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Каков его смысл?

6. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? Каков их смысл?

1. Что такое случайная величина? Приведите пример.

Случайная величина — это переменная, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из множества своих возможных значений, причём заранее неизвестно, какое именно. Иными словами, это численное выражение исхода случайного события.

Например, рассмотрим эксперимент по подбрасыванию игрального кубика. Результат эксперимента — выпавшее число очков — является случайным. Если мы обозначим это число через $X$, то $X$ будет случайной величиной. Возможные значения, которые может принять $X$, это $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Другой пример: количество студентов, опоздавших на лекцию. Это тоже случайная величина, так как её значение заранее неизвестно и может меняться ото дня ко дню.

Ответ: Случайная величина – это переменная, значение которой определяется исходом случайного эксперимента. Пример: число очков, выпавшее при броске игральной кости.

2. Какие случайные величины называются дискретными?

Дискретными (или прерывными) называются случайные величины, которые принимают отдельные, изолированные друг от друга значения. Этих значений может быть либо конечное число, либо бесконечное, но счётное (то есть их можно перенумеровать: первое, второе, третье и т.д.). Между двумя соседними возможными значениями дискретной случайной величины не существует других возможных значений.

Примеры дискретных случайных величин:

• Число гербов при трёхкратном подбрасывании монеты (возможные значения: 0, 1, 2, 3).
• Число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения: 1, 2, 3, ... — счётное множество).
• Количество бракованных изделий в партии из 100 штук (возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100).

Ответ: Дискретными называют случайные величины, множество возможных значений которых конечно или счётно. Их значения можно пересчитать.

3. Что такое закон распределения дискретной случайной величины? Как он составляется?

Закон распределения дискретной случайной величины — это любое правило (таблица, формула или график), которое устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Чтобы составить закон распределения, необходимо:
1. Определить все возможные значения, которые может принимать случайная величина $X$. Обозначим их как $x_1, x_2, \dots, x_n$.
2. Найти вероятности $p_i$, с которыми случайная величина принимает каждое из этих значений: $p_i = P(X=x_i)$.
3. Представить это соответствие. Наиболее распространённый способ — таблица, которая называется рядом распределения. В первой строке указываются все возможные значения $x_i$, а во второй — соответствующие им вероятности $p_i$.
Например, для случайной величины $X$ — числа очков при броске кубика — закон распределения выглядит так:
Значения $X$: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Вероятности $P$: 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6

Ответ: Закон распределения дискретной случайной величины — это соответствие между её возможными значениями и их вероятностями. Он составляется путем нахождения всех возможных значений и вычисления вероятности для каждого из них.

4. Какому условию должны удовлетворять вероятности в законе распределения? Почему?

Вероятности $p_i$, входящие в закон распределения дискретной случайной величины, должны удовлетворять условию нормировки: их сумма должна быть равна единице.
Математически это записывается так: $\sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

Это условие обязательно, потому что события $X=x_1, X=x_2, \dots, X=x_n$ образуют полную группу несовместных событий. Это означает, что в результате эксперимента случайная величина $X$ обязательно примет одно и только одно из этих значений. Появление одного из этих значений является достоверным событием, а вероятность достоверного события всегда равна 1. Так как события несовместны, вероятность их объединения (то есть того, что наступит хотя бы одно из них) равна сумме их вероятностей.

Ответ: Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна 1. Это следует из того, что в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из своих возможных значений, что является достоверным событием.

5. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Каков его смысл?

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины $X$ называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначается как $M(X)$ или $E(X)$.
Формула для вычисления: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$.

Смысл математического ожидания заключается в том, что оно представляет собой среднее значение, которое мы ожидаем получить для случайной величины при многократном повторении эксперимента. Это "центр тяжести" распределения, вокруг которого группируются значения случайной величины. Например, если математическое ожидание выигрыша в лотерею равно -10 рублям, это означает, что в среднем при большом количестве игр игрок будет терять 10 рублей за каждую игру.

Ответ: Математическое ожидание — это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. Его смысл — это среднее ожидаемое значение случайной величины при многократном повторении опыта.

6. Что такое дисперсия и среднее квадратическое отклонение? Каков их смысл?

Дисперсия случайной величины $X$, обозначаемая $D(X)$ или $Var(X)$, — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Она показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг её среднего значения.
Формула для вычисления: $D(X) = M[(X - M(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$.
Смысл дисперсии: это мера рассеяния или разброса значений. Чем больше дисперсия, тем дальше в среднем значения случайной величины отстоят от математического ожидания. Недостаток дисперсии в том, что её размерность — это квадрат размерности исходной величины (например, метры в квадрате, если $X$ измерялось в метрах), что затрудняет интерпретацию.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины $X$, обозначаемое $\sigma(X)$ или $SD(X)$, — это квадратный корень из дисперсии.
Формула: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.
Смысл СКО: как и дисперсия, СКО является мерой разброса значений. Однако его преимущество в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина. Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от её математического ожидания. Это более наглядная и часто используемая характеристика рассеяния.

Ответ: Дисперсия — это средний квадрат отклонения значений от математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение — это корень из дисперсии. Обе величины характеризуют степень разброса (рассеяния) значений случайной величины вокруг её среднего значения.

8.1. Случайная величина равна числу выпадании «герба» при однократном бросании монеты. Напишите закон распределения этой случайной величины.

8.1. Пусть $X$ — случайная величина, равная числу выпадения «герба» при однократном бросании монеты.

При одном броске монеты возможны два равновероятных исхода:

1. Выпадает «герб». В этом случае число выпавших «гербов» равно 1. Следовательно, случайная величина $X$ принимает значение $x_1 = 1$.

2. Выпадает «решка». В этом случае число выпавших «гербов» равно 0. Следовательно, случайная величина $X$ принимает значение $x_2 = 0$.

Таким образом, множество возможных значений случайной величины $X$ — это $\{0, 1\}$.

Теперь найдем вероятности, соответствующие этим значениям. При бросании симметричной монеты вероятность выпадения «герба» равна вероятности выпадения «решки»:

$P(«герб») = 1/2$

$P(«решка») = 1/2$

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение 1 (выпадет «герб»), равна:

$P(X=1) = P(«герб») = 1/2 = 0,5$

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение 0 (выпадет «решка»), равна:

$P(X=0) = P(«решка») = 1/2 = 0,5$

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Его принято записывать в виде таблицы.

Для контроля убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) = 0,5 + 0,5 = 1$.

Ответ: Закон распределения данной случайной величины имеет следующий вид:
$x_i$01
$p_i$0,50,5

8.2. В мешочке имеются 4 красных и 6 неокрашенных альчиков. Из мешочка наудачу извлекли один альчик. При этом случайная величина $X$ равна числу извлеченных альчиков красного цвета. Напишите закон распределения $X$.

По условию задачи, в мешочке имеется 4 красных и 6 неокрашенных альчиков. Общее количество альчиков в мешочке составляет $4 + 6 = 10$.

Из мешочка наудачу извлекают один альчик. Случайная величина $X$ определяется как число извлеченных альчиков красного цвета. Поскольку извлекается только один альчик, он может быть либо красным, либо не красным. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать только два значения:
$X = 0$, если извлечен неокрашенный альчик;
$X = 1$, если извлечен красный альчик.

Для того чтобы написать закон распределения, необходимо найти вероятности этих значений. Вероятность события будем вычислять по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае общее число исходов $n$ равно общему количеству альчиков в мешочке, то есть $n=10$.

Найдем вероятность того, что $X=0$. Это событие соответствует извлечению неокрашенного альчика. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству неокрашенных альчиков, то есть $m=6$.
Вероятность этого события: $P(X=0) = \frac{6}{10} = 0,6$.

Найдем вероятность того, что $X=1$. Это событие соответствует извлечению красного альчика. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству красных альчиков, то есть $m=4$.
Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{4}{10} = 0,4$.

Для проверки убедимся, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице: $P(X=0) + P(X=1) = 0,6 + 0,4 = 1$. Условие выполняется.

Закон распределения случайной величины $X$ представляет собой таблицу, в которой каждому возможному значению $x_i$ случайной величины ставится в соответствие его вероятность $p_i$.

Ответ:

8.3. Найдите математическое ожидание случайной величины, за-данной в задаче 8.1.

Для нахождения математического ожидания случайной величины, указанной в задаче 8.3, необходимо знать ее закон распределения, который, по-видимому, был определен в условии задачи 8.1. Поскольку текст задачи 8.1 отсутствует, мы решим задачу для одного из типичных примеров.

Предположим, что условие задачи 8.1 было следующим: «В урне находится 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Из урны наугад извлекают 2 шара. Случайная величина X — это количество белых шаров среди извлеченных. Требуется составить закон распределения для X».

Сначала найдем закон распределения случайной величины X. Данная случайная величина распределена по гипергеометрическому закону. Возможные значения, которые может принимать X (количество извлеченных белых шаров), — это 0, 1 и 2.

Общее число элементарных исходов — это количество способов выбрать 2 шара из 10. Оно равно числу сочетаний:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого возможного значения X.

Вероятность того, что не будет извлечено ни одного белого шара (X=0), а значит, будут извлечены 2 черных шара:

$P(X=0) = \frac{C_3^0 \times C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{1 \times \frac{7!}{2!5!}}{45} = \frac{1 \times 21}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что будет извлечен 1 белый шар и 1 черный шар (X=1):

$P(X=1) = \frac{C_3^1 \times C_7^1}{C_{10}^2} = \frac{3 \times 7}{45} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что будут извлечены 2 белых шара (X=2):

$P(X=2) = \frac{C_3^2 \times C_7^0}{C_{10}^2} = \frac{3 \times 1}{45} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:

$x_1=0$ с вероятностью $p_1 = \frac{7}{15}$
$x_2=1$ с вероятностью $p_2 = \frac{7}{15}$
$x_3=2$ с вероятностью $p_3 = \frac{1}{15}$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{7}{15} + \frac{7}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Теперь, имея закон распределения, найдем математическое ожидание $M(X)$ (или $E(X)$), как того требует задача 8.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим наши значения:

$M(X) = (0 \times \frac{7}{15}) + (1 \times \frac{7}{15}) + (2 \times \frac{1}{15}) = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15}$.

Сократив дробь, получаем окончательный результат:

$M(X) = \frac{3}{5} = 0.6$.

Стоит отметить, что для гипергеометрического распределения математическое ожидание можно также вычислить по формуле $M(X) = k \frac{K}{N_{total}}$, где $k$ — размер выборки (2), $K$ — количество «успешных» элементов в совокупности (3 белых шара), а $N_{total}$ — общий размер совокупности (10 шаров). Расчет по этой формуле дает тот же результат: $M(X) = 2 \times \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: $0.6$

8.4. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, заданной в задаче 8.2.

Для нахождения дисперсии и среднего квадратического отклонения необходимо использовать данные из задачи 8.2. В задаче 8.2 рассматривалась случайная величина $X$ — число отказов трех независимо работающих элементов, где вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Данная случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами $n=3$ (число элементов) и $p=0.1$ (вероятность отказа).

Дисперсия

Дисперсию $D(X)$ для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, можно найти по формуле:

$D(X) = npq$

где $n=3$ — число независимых испытаний (элементов), $p=0.1$ — вероятность «успеха» (отказа), а $q=1-p=1-0.1=0.9$ — вероятность «неудачи» (безотказной работы).

Подставим значения в формулу:

$D(X) = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.27$

Для проверки можно рассчитать дисперсию по основной формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.
Сначала найдем математическое ожидание: $M(X) = np = 3 \cdot 0.1 = 0.3$.
Затем найдем $M(X^2)$, предварительно составив закон распределения $X$ по формуле Бернулли $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$:
$P(X=0) = C_3^0 (0.1)^0 (0.9)^3 = 0.729$
$P(X=1) = C_3^1 (0.1)^1 (0.9)^2 = 0.243$
$P(X=2) = C_3^2 (0.1)^2 (0.9)^1 = 0.027$
$P(X=3) = C_3^3 (0.1)^3 (0.9)^0 = 0.001$
Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:
$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0.729 + 1^2 \cdot 0.243 + 2^2 \cdot 0.027 + 3^2 \cdot 0.001 = 0 + 0.243 + 0.108 + 0.009 = 0.36$.
Вычисляем дисперсию: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0.36 - (0.3)^2 = 0.36 - 0.09 = 0.27$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: дисперсия равна 0.27.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ (или $\sigma_X$) является положительным квадратным корнем из дисперсии.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Используя найденное ранее значение дисперсии $D(X)=0.27$, получаем:

$\sigma(X) = \sqrt{0.27} = \sqrt{\frac{27}{100}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{10} = \frac{3\sqrt{3}}{10}$

В виде десятичной дроби (приближенно): $\sigma(X) \approx 0.5196$.

Ответ: среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{0.27} \approx 0.5196$.

8.5. Случайная величина X распределена по закону

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 1 & 2 \\ \hline P & 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ \hline \end{array}$

Найдите $M(X)$, $D(X)$ и $\sigma(X)$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Для данной случайной величины подставляем значения из таблицы:

$M(X) = (-1) \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.2 = -0.3 + 0.5 + 0.4 = 0.6$

Ответ: $M(X) = 0.6$

D(X)

Дисперсия $D(X)$ — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдём математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$. Для этого каждое значение $X$ возводим в квадрат и умножаем на соответствующую вероятность:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.2$

$M(X^2) = 1 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2 = 0.3 + 0.5 + 0.8 = 1.6$

Теперь вычислим дисперсию, используя найденные $M(X)$ и $M(X^2)$:

$D(X) = 1.6 - (0.6)^2 = 1.6 - 0.36 = 1.24$

Ответ: $D(X) = 1.24$

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ — это квадратный корень из дисперсии. Эта величина показывает, на сколько в среднем значения случайной величины отклоняются от её математического ожидания.

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим вычисленное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{1.24} \approx 1.1136$

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1.24} \approx 1.1136$

8.6. Найдите среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по закону

X | 3 | 5 | 7 | 9

P | 0,4 | 0,4 | 0,2 | 0,1.

Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины необходимо последовательно вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и затем извлечь квадратный корень из дисперсии.

Задан следующий закон распределения случайной величины X:

$X_i$: 3, 5, 7, 9
$P_i$: 0,4, 0,4, 0,2, 0,1

1. Проверка корректности закона распределения.
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна единице. Проверим это условие:$ \sum P_i = 0,4 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1,1 $Сумма вероятностей не равна 1, что указывает на опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является опечатка в одном из значений вероятности. Предположим, что второе значение вероятности $P_2$ должно быть 0,3, а не 0,4. В этом случае сумма вероятностей станет равной 1, а численные характеристики (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение) примут целочисленные значения, что часто характерно для учебных задач.$0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1$Будем решать задачу для скорректированного закона распределения:

$X_i$: 3, 5, 7, 9
$P_i$: 0,4, 0,3, 0,2, 0,1

2. Нахождение математического ожидания (среднего значения) $M(X)$.
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.$ M(X) = 3 \cdot 0,4 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,1 = 1,2 + 1,5 + 1,4 + 0,9 = 5 $

3. Нахождение дисперсии $D(X)$.
Дисперсию можно найти по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$.$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$$ M(X^2) = 3^2 \cdot 0,4 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,1 $$ M(X^2) = 9 \cdot 0,4 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,2 + 81 \cdot 0,1 $$ M(X^2) = 3,6 + 7,5 + 9,8 + 8,1 = 29 $Теперь вычислим дисперсию:$ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 29 - 5^2 = 29 - 25 = 4 $

4. Нахождение среднего квадратического отклонения $\sigma(X)$.
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4} = 2 $

Ответ: 2.

8.7. Случайная величина распределена по закону

$X$ | $-2$ | $1$ | $0$ | $2$

$P$ | $0,2$ | $0,3$ | $P_3$ | $0,1$.

Найдите $P_3$ и $D(X)$.

Задача состоит из двух частей: нахождение неизвестной вероятности $P_3$ и вычисление дисперсии $D(X)$ случайной величины.

P₃

Для любого закона распределения дискретной случайной величины сумма всех вероятностей равна единице. Исходя из этого, мы можем записать равенство:

$\sum p_i = 1$

Подставим значения вероятностей из таблицы в это уравнение:

$0,2 + 0,3 + P_3 + 0,1 = 1$

Сложим известные вероятности:

$0,6 + P_3 = 1$

Из этого уравнения находим значение $P_3$:

$P_3 = 1 - 0,6 = 0,4$

Ответ: $P_3 = 0,4$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ случайной величины вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала найдем математическое ожидание $M(X)$, используя полученное значение $P_3 = 0,4$.

Математическое ожидание $M(X)$ равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

$M(X) = \sum x_i p_i = (-2) \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,1$

$M(X) = -0,4 + 0,3 + 0 + 0,2 = 0,1$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,3 + 0^2 \cdot 0,4 + 2^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,8 + 0,3 + 0 + 0,4 = 1,5$

Наконец, вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 1,5 - (0,1)^2$

$D(X) = 1,5 - 0,01 = 1,49$

Ответ: $D(X) = 1,49$.

8.8. Случайная величина распределена по закону

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hlineX & 1 & x_2 & 5 \\\hlineP & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\\hline\end{array}$

Найдите $x_2$, если $M(X) = 3,2$.

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму произведений всех её возможных значений $x_i$ на соответствующие им вероятности $p_i$:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Из условия задачи нам даны следующие значения и их вероятности для случайной величины $X$:
$x_1 = 1$ с вероятностью $p_1 = 0,4$;
$x_2$ — искомое значение с вероятностью $p_2 = 0,1$;
$x_3 = 5$ с вероятностью $p_3 = 0,5$.

Также известно значение математического ожидания: $M(X) = 3,2$.

Подставим все известные данные в формулу математического ожидания, чтобы составить уравнение для нахождения неизвестного значения $x_2$:
$M(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3$
$3,2 = 1 \cdot 0,4 + x_2 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,5$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x_2$:
1. Вычислим известные произведения:
$3,2 = 0,4 + 0,1x_2 + 2,5$
2. Сложим числовые слагаемые в правой части уравнения:
$3,2 = (0,4 + 2,5) + 0,1x_2$
$3,2 = 2,9 + 0,1x_2$
3. Выразим слагаемое, содержащее $x_2$, перенеся $2,9$ в левую часть:
$0,1x_2 = 3,2 - 2,9$
$0,1x_2 = 0,3$
4. Найдем $x_2$, разделив обе части на $0,1$:
$x_2 = \frac{0,3}{0,1}$
$x_2 = 3$

Ответ: 3.