Страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите уравнение секущей к графику функции $y = f(x)$, проходящей через точки $A(x_1; f(x_1))$ и $B(x_2; f(x_2))$.

2. Дайте определение выпуклости функции вверх и вниз.

3. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции и докажите его.

4. Какая точка называется точкой перегиба функции?

5. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба функции и докажите его.

6. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции и докажите его.

7. Сформулируйте полную схему исследования функции и поясните ее. Чем отличается эта схема от упрощенной схемы из пункта 7.6 (подпункт 7.6.2)?

1. Напишите уравнение секущей к графику функции y = f(x), проходящей через точки A(x₁; f(x₁)) и B(x₂; f(x₂)).

Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, в общем виде записывается как:
$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
В данном случае, точки $A$ и $B$ лежат на графике функции $y = f(x)$, поэтому их координаты равны $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Подставим эти значения в уравнение прямой:
$ \frac{y - f(x_1)}{x - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $
Это и есть каноническое уравнение секущей.
Также можно выразить $y$ и представить уравнение в виде функции с угловым коэффициентом:
$ y - f(x_1) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) $
$ y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) $
Здесь угловой коэффициент (тангенс угла наклона секущей) равен $k = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.

Ответ: Уравнение секущей можно записать в двух формах:
Каноническая форма: $ \frac{y - f(x_1)}{x - x_1} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $
Форма с угловым коэффициентом: $ y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) $

2. Дайте определение выпуклости функции вверх и вниз.

Функция $y = f(x)$, дифференцируемая на интервале $(a, b)$, называется выпуклой вниз (или вогнутой) на этом интервале, если ее график на $(a, b)$ расположен не ниже любой своей касательной. Геометрически это означает, что любая хорда, соединяющая две точки графика, лежит не ниже самого графика между этими точками.



Функция $y = f(x)$, дифференцируемая на интервале $(a, b)$, называется выпуклой вверх (или просто выпуклой) на этом интервале, если ее график на $(a, b)$ расположен не выше любой своей касательной. Геометрически это означает, что любая хорда, соединяющая две точки графика, лежит не выше самого графика между этими точками.

Ответ: Функция выпукла вниз (вогнута) на интервале, если ее график лежит выше касательной (и ниже хорды). Функция выпукла вверх на интервале, если ее график лежит ниже касательной (и выше хорды).

3. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции и докажите его.

Теорема (достаточное условие выпуклости):
Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a, b)$.
1. Если $f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a, b)$, то функция $f(x)$ выпукла вниз на $(a, b)$.
2. Если $f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a, b)$, то функция $f(x)$ выпукла вверх на $(a, b)$.
Доказательство (для случая выпуклости вниз):
Докажем, что если $f''(x) \ge 0$ на $(a, b)$, то график функции лежит не ниже любой своей касательной.
Возьмем произвольную точку $x_0 \in (a, b)$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке имеет вид:
$ y_{кас}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $
Нам нужно доказать, что для любого $x \in (a, b)$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{кас}(x)$, то есть $f(x) - y_{кас}(x) \ge 0$.
Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = f(x) - y_{кас}(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)$.
Найдем ее производную:
$ g'(x) = f'(x) - f'(x_0) $
По условию, $f''(x) \ge 0$ на $(a, b)$, это означает, что первая производная $f'(x)$ не убывает на этом интервале.
Следовательно:
- при $x > x_0$ имеем $f'(x) \ge f'(x_0)$, откуда $g'(x) \ge 0$. Значит, функция $g(x)$ не убывает на $(x_0, b)$.
- при $x < x_0$ имеем $f'(x) \le f'(x_0)$, откуда $g'(x) \le 0$. Значит, функция $g(x)$ не возрастает на $(a, x_0)$.
Таким образом, в точке $x_0$ функция $g(x)$ достигает своего минимума. Найдем значение функции в этой точке:
$ g(x_0) = f(x_0) - f(x_0) - f'(x_0)(x_0 - x_0) = 0 $
Поскольку $g(x_0) = 0$ является минимальным значением функции $g(x)$ на интервале $(a, b)$, то для любого $x \in (a, b)$ выполняется $g(x) \ge 0$.
Это означает, что $f(x) - y_{кас}(x) \ge 0$, или $f(x) \ge y_{кас}(x)$, что и требовалось доказать.
Доказательство для случая выпуклости вверх ($f''(x) \le 0$) аналогично.

Ответ: Если вторая производная функции $f''(x) \ge 0$ на интервале, то функция выпукла вниз. Если $f''(x) \le 0$, то функция выпукла вверх.

4. Какая точка называется точкой перегиба функции?

Точка $M(x_0, f(x_0))$ графика непрерывной функции $y = f(x)$ называется точкой перегиба, если в этой точке меняется направление выпуклости графика.
Это означает, что существует такая окрестность точки $x_0$, что при переходе через эту точку кривая меняет свою выпуклость с выпуклости вверх на выпуклость вниз, или наоборот. В точке перегиба график функции "переходит" со своей касательной с одной стороны на другую.

Ответ: Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой меняется направление ее выпуклости.

5. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба функции и докажите его.

Теорема (необходимое условие точки перегиба):
Если функция $f(x)$ имеет вторую производную в точке $x_0$ и точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба, то $f''(x_0) = 0$.
Доказательство:
Предположим противное: пусть $x_0$ — точка перегиба, но $f''(x_0) \neq 0$.
Рассмотрим случай, когда $f''(x_0) > 0$.
Разложим функцию $f(x)$ по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0$:
$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2) $
Рассмотрим разность $f(x) - y_{кас}(x)$, где $y_{кас}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ — уравнение касательной в точке $x_0$.
$ f(x) - y_{кас}(x) = \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2) $
В достаточно малой окрестности точки $x_0$ знак этой разности определяется знаком главного члена $\frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$.
Поскольку $(x - x_0)^2 > 0$ для всех $x \neq x_0$ и мы предположили, что $f''(x_0) > 0$, то разность $f(x) - y_{кас}(x)$ будет положительной как слева, так и справа от точки $x_0$. Это означает, что график функции $f(x)$ лежит выше касательной в проколотой окрестности точки $x_0$, то есть функция выпукла вниз в этой окрестности. Но это противоречит определению точки перегиба, согласно которому направление выпуклости должно меняться.
Аналогичное противоречие возникает, если предположить, что $f''(x_0) < 0$ (тогда график будет лежать ниже касательной с обеих сторон).
Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и должно выполняться равенство $f''(x_0) = 0$.

Ответ: Если $x_0$ — точка перегиба и в этой точке существует вторая производная, то она равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

6. Сформулируйте достаточное условие точки перегиба функции и докажите его.

Теорема (достаточное условие точки перегиба):
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба.
Доказательство:
Пусть при переходе через $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, например, с минуса на плюс. Это означает, что существует такое $\delta > 0$, что:
1. Для всех $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ выполняется $f''(x) < 0$.
2. Для всех $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ выполняется $f''(x) > 0$.
Из достаточного условия выпуклости (вопрос 3) следует, что на интервале $(x_0 - \delta, x_0)$ функция $f(x)$ выпукла вверх, а на интервале $(x_0, x_0 + \delta)$ — выпукла вниз.
Поскольку в точке $x_0$ происходит смена направления выпуклости, то по определению точка $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба.
Случай, когда $f''(x)$ меняет знак с плюса на минус, доказывается аналогично.

Ответ: Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то $x_0$ является точкой перегиба.

7. Сформулируйте полную схему исследования функции и поясните ее. Чем отличается эта схема от упрощенной схемы из пункта 7.6.2)?

Полная схема исследования функции и построения графика:
1. Область определения. Найти множество всех значений $x$, для которых функция определена.
2. Свойства функции. Исследовать функцию на четность ($f(-x) = f(x)$), нечетность ($f(-x) = -f(x)$) и периодичность. Это позволяет упростить исследование и построение, например, построить график только для $x \ge 0$ для четной/нечетной функции.
3. Точки пересечения с осями координат. Найти точку пересечения с осью $Oy$, вычислив $f(0)$, и точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $f(x)=0$.
4. Асимптоты. Найти вертикальные асимптоты (в точках разрыва), а также горизонтальные и наклонные асимптоты при $x \to \pm\infty$.
5. Исследование с помощью первой производной.
а) Найти производную $f'(x)$.
б) Найти критические точки (где $f'(x)=0$ или не существует).
в) Определить промежутки возрастания ($f'(x)>0$) и убывания ($f'(x)<0$) функции.
г) Найти точки локального максимума и минимума (экстремумы).
6. Исследование с помощью второй производной.
а) Найти вторую производную $f''(x)$.
б) Найти точки, где $f''(x)=0$ или не существует (потенциальные точки перегиба).
в) Определить промежутки выпуклости вверх ($f''(x)<0$) и выпуклости вниз ($f''(x)>0$).
г) Найти точки перегиба.
7. Построение графика. На основе всей полученной информации (ключевые точки, асимптоты, характер монотонности и выпуклости) построить эскиз графика функции.

Отличие полной схемы от упрощенной:
Предполагая, что "упрощенная схема" — это стандартная схема исследования без анализа выпуклости, можно утверждать следующее.
Ключевое отличие полной схемы от упрощенной заключается в наличии пункта 6: Исследование с помощью второй производной.
- Упрощенная схема позволяет определить общую форму графика: где он возрастает, убывает, где находятся его "вершины" и "впадины" (экстремумы). Она включает шаги 1-5 и 7.
- Полная схема, благодаря анализу второй производной, дает более точное и детальное представление о поведении функции. Она не просто показывает, что график идет вверх, но и как он это делает: изгибаясь "куполом" вверх (выпуклость вверх) или "чашей" вниз (выпуклость вниз). Включение в анализ точек перегиба позволяет точно указать места, где кривизна графика меняет свое направление. Это критически важно для точного построения графиков многих функций, особенно немонотонных.

Ответ: Полная схема исследования функции включает в себя семь этапов, от нахождения области определения до построения графика. Ее основное отличие от упрощенной схемы — это наличие этапа исследования функции на выпуклость и нахождения точек перегиба с помощью второй производной, что позволяет построить более точный и детальный график.

В упражнениях 7.128–7.130 определите промежутки выпуклости и точки перегиба данных функций.

7. 128.

1) $y = 3x^2 - x^3$;

2) $y = 2x^2 - x^4$;

3) $y = (x + 3)^2$;

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17.$

1) $y = 3x^2 - x^3$

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную.

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную:

$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Находим вторую производную:

$y'' = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$6 - 6x = 0$

$6x = 6$

$x = 1$.

Теперь определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x < 1$ (например, $x=0$), $y''(0) = 6 - 6 \cdot 0 = 6 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 1)$ функция выпукла вниз (вогнута).

При $x > 1$ (например, $x=2$), $y''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = -6 < 0$. Следовательно, на интервале $(1; +\infty)$ функция выпукла вверх.

Поскольку в точке $x=1$ вторая производная меняет знак, эта точка является точкой перегиба. Найдем ординату этой точки:

$y(1) = 3(1)^2 - (1)^3 = 3 - 1 = 2$.

Точка перегиба имеет координаты $(1; 2)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутке $(-\infty; 1)$, выпукла вверх на промежутке $(1; +\infty)$, точка перегиба $(1; 2)$.

2) $y = 2x^2 - x^4$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую и вторую производные:

$y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.

$y'' = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$4 - 12x^2 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Определим знак $y'' = 4(1 - 3x^2)$ на каждом интервале. Это парабола с ветвями, направленными вниз.

При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ (например, $x=-1$), $y''(-1) = 4 - 12(-1)^2 = -8 < 0$. Функция выпукла вверх.

При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ (например, $x=0$), $y''(0) = 4 - 12(0)^2 = 4 > 0$. Функция выпукла вниз.

При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$ (например, $x=1$), $y''(1) = 4 - 12(1)^2 = -8 < 0$. Функция выпукла вверх.

В точках $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ знак второй производной меняется, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты. Поскольку $x^2 = 1/3$ в этих точках, то:

$y = 2x^2 - x^4 = 2(\frac{1}{3}) - (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6-1}{9} = \frac{5}{9}$.

Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, выпукла вниз на промежутке $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, точки перегиба $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{5}{9})$.

3) $y = (x + 3)^2$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Раскроем скобки: $y = x^2 + 6x + 9$.

Находим первую производную:

$y' = (x^2 + 6x + 9)' = 2x + 6$.

Находим вторую производную:

$y'' = (2x + 6)' = 2$.

Так как вторая производная $y'' = 2$ является постоянной положительной величиной ($y'' > 0$) для любого значения $x$, то функция является выпуклой вниз на всей своей области определения.

Поскольку вторая производная никогда не равна нулю и не меняет свой знак, точек перегиба у функции нет.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек перегиба нет.

4) $y = x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную:

$y' = (x^4 + 4x^3 - 18x^2 + x - 17)' = 4x^3 + 12x^2 - 36x + 1$.

Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 + 12x^2 - 36x + 1)' = 12x^2 + 24x - 36$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$12x^2 + 24x - 36 = 0$.

Разделим уравнение на 12:

$x^2 + 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак $y'' = 12(x^2 + 2x - 3)$ на каждом интервале. График параболы $y=x^2+2x-3$ имеет ветви вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между корнями.

При $x \in (-\infty; -3)$, $y'' > 0$. Функция выпукла вниз.

При $x \in (-3; 1)$, $y'' < 0$. Функция выпукла вверх.

При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$. Функция выпукла вниз.

В точках $x = -3$ и $x = 1$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдем ординаты этих точек:

При $x = -3$:

$y(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 - 18(-3)^2 + (-3) - 17 = 81 + 4(-27) - 18(9) - 3 - 17 = 81 - 108 - 162 - 20 = -209$.

При $x = 1$:

$y(1) = 1^4 + 4(1)^3 - 18(1)^2 + 1 - 17 = 1 + 4 - 18 + 1 - 17 = 6 - 35 = -29$.

Точки перегиба: $(-3; -209)$ и $(1; -29)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $(-3; 1)$, точки перегиба $(-3; -209)$ и $(1; -29)$.

7.129. 1) $y = \frac{3}{3 + x^2}$;

2) $y = \frac{x-1}{2x+3}$;

3) $y = \frac{2x}{1+x^2}$;

4) $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$.

1) Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{3}{3 + x^2}$, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, числитель $u = 3$ и знаменатель $v = 3 + x^2$.
Сначала найдем производные числителя и знаменателя:
$u' = (3)' = 0$
$v' = (3 + x^2)' = (3)' + (x^2)' = 0 + 2x = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot (3 + x^2) - 3 \cdot (2x)}{(3 + x^2)^2} = \frac{0 - 6x}{(3 + x^2)^2} = \frac{-6x}{(3 + x^2)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{6x}{(3+x^2)^2}$.

2) Для функции $y = \frac{x-1}{2x+3}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x-1$ и $v = 2x+3$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (x-1)' = 1$
$v' = (2x+3)' = 2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(x-1)'(2x+3) - (x-1)(2x+3)'}{(2x+3)^2} = \frac{1 \cdot (2x+3) - (x-1) \cdot 2}{(2x+3)^2} = \frac{2x+3 - (2x-2)}{(2x+3)^2} = \frac{2x+3 - 2x + 2}{(2x+3)^2} = \frac{5}{(2x+3)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{5}{(2x+3)^2}$.

3) Для функции $y = \frac{2x}{1+x^2}$ найдем производную, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 2x$ и $v = 1+x^2$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (2x)' = 2$
$v' = (1+x^2)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x)'(1+x^2) - 2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2+2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$.
Можно вынести общий множитель 2 в числителе: $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.

4) Для функции $y = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3}$ найдем производную. Воспользуемся правилом дифференцирования разности функций: $(f-g)' = f'-g'$.
Для удобства перепишем функцию, используя отрицательные степени: $y = 3x^{-1} - x^{-3}$.
Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ к каждому слагаемому:
Производная первого слагаемого: $(3x^{-1})' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.
Производная второго слагаемого: $(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Теперь найдем производную исходной функции как разность производных:
$y' = (3x^{-1})' - (x^{-3})' = -\frac{3}{x^2} - (-\frac{3}{x^4}) = -\frac{3}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^4$ и упростим выражение:
$y' = -\frac{3x^2}{x^4} + \frac{3}{x^4} = \frac{3-3x^2}{x^4} = \frac{3(1-x^2)}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{3(1-x^2)}{x^4}$.

7.130. 1) $y = \sin x;$

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

1) Проведем исследование функции $y = \sin x$ и найдем ее основные свойства.

Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений: Значения функции синус находятся в пределах отрезка от -1 до 1 включительно. Следовательно, область значений $E(y) = [-1; 1]$.

Периодичность: Функция является периодической. Наименьший положительный период $T$ для $y = \sin x$ равен $2\pi$, так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ для любого значения $x$.

Четность: Для проверки на четность/нечетность найдем $y(-x)$.
$y(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y(x) = 0$.
$\sin x = 0$
Это уравнение имеет решения $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Экстремумы и монотонность:

Максимальное значение функции равно 1. Оно достигается в точках, где $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -1. Оно достигается в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), $k \in \mathbb{Z}$.

Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \sin x$ — нечетная, периодическая с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Область определения — все действительные числа $\mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[-1, 1]$. Нули функции находятся в точках $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Проведем исследование функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ и найдем ее основные свойства. График этой функции получается из графика $y = \cos x$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$.

Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. Для $y=\cos x$ она равна $[-1, 1]$, следовательно, для данной функции область значений также $E(y) = [-1; 1]$.

Периодичность: Функция $y = \cos x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Горизонтальный сдвиг не изменяет период, поэтому период функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ также равен $T = 2\pi$.

Четность: Проверим на четность/нечетность.
$y(-x) = \cos(-x - \frac{\pi}{4}) = \cos(-(x + \frac{\pi}{4}))$.
Так как косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$), то $y(-x) = \cos(x + \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y(x) = 0$.
$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0$
Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы и монотонность:

Максимальное значение функции равно 1. Оно достигается, когда $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
$x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -1. Оно достигается, когда $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -1$.
$x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция возрастает на промежутках вида $[\frac{5\pi}{4} + 2k\pi; \frac{9\pi}{4} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \frac{5\pi}{4} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ — функция общего вида, периодическая с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Область определения — все действительные числа $\mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[-1, 1]$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, точки минимума: $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

В упражнениях 7.131–7.139 исследуйте функции и постройте их график.

7. 131.

1) $y = x(2 - x)^2$;

2) $y = 0,2(x^3 - 6x^2 + 25)$;

3) $y = x^3 - 5x^2 + 8x$;

4) $y = 2x^3 - 3x + 1$.

1) Исследуем функцию $y = x(2 - x)^2$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0(2-0)^2 = 0$. Точка (0, 0).
С осью OX: при $y=0$, $x(2-x)^2 = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2$ (корень кратности 2). Точки (0, 0) и (2, 0). В точке (2, 0) график касается оси OX.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = -x(2 - (-x))^2 = -x(2+x)^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Производная и критические точки.
Раскроем скобки: $y = x(4 - 4x + x^2) = x^3 - 4x^2 + 4x$.
Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 4x^2 + 4x)' = 3x^2 - 8x + 4$.
Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}$.
Критические точки: $x_1 = \frac{12}{6} = 2$ и $x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty, 2/3)$, $(2/3, 2)$, $(2, +\infty)$.
При $x < 2/3$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $2/3 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x=2/3$ — точка локального максимума. $y(2/3) = \frac{2}{3}(2-\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{27}$.
Точка $x=2$ — точка локального минимума. $y(2) = 2(2-2)^2 = 0$.
Экстремумы: максимум в точке $(2/3, 32/27)$, минимум в точке $(2, 0)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 8x + 4)' = 6x - 8$.
Приравняем к нулю: $6x - 8 = 0 \implies x = 8/6 = 4/3$.
При $x < 4/3$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 4/3$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = \frac{4}{3}(2-\frac{4}{3})^2 = \frac{4}{3} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{16}{27}$.
Точка перегиба: $(4/3, 16/27)$.

7. Построение графика.
На основе проведенного исследования строим график.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2/3]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[2/3, 2]$. Точка локального максимума $(2/3, 32/27)$. Точка локального минимума $(2, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вниз на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 16/27)$. График функции представлен выше.

2) Исследуем функцию $y = 0,2(x^3 - 6x^2 + 25)$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0.2(25) = 5$. Точка (0, 5).
С осью OX: при $y=0$, $x^3 - 6x^2 + 25 = 0$. Проверкой убеждаемся, что $x=5$ не является корнем. $5^3-6(5^2)+25 = 125-150+25=0$. Ошибка, $x=5$ является корнем. Давайте проверим еще раз: $y'(5) = 0.2(3(5^2)-12(5))=0.2(75-60)=3\ne 0$. Попробуем найти корни через разложение. Заметим, что $x=-1.75$ не является корнем, но $x=-1.79...$ является. $x^3 - 6x^2 + 25 = (x-5)(x^2 - x - 5)$ - это неверно. Правильное разложение: $x^3 - 6x^2 + 25 = (x+1.79...)(...)$. Точные корни: $x_1 \approx -1.79$, $x_2 \approx 2.79$, $x_3 = 5$. Точки: $(-1.79, 0)$, $(2.79, 0)$, $(5, 0)$.
Примечание: $x=5$ не является корнем, $5^3-6(5^2)+25 = 0$. Упс, является. $y(5)=0.2(125-150+25)=0$. Значит $(x-5)$ - множитель. $x^3-6x^2+25=(x-5)(x^2-x-5)$. Корни $x^2-x-5=0$ это $x = \frac{1 \pm \sqrt{1+20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Итак, точки пересечения с OX: $x_1=5$, $x_2 = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx 2.79$, $x_3 = \frac{1-\sqrt{21}}{2} \approx -1.79$.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = 0.2(-x^3 - 6(-x)^2 + 25) = 0.2(-x^3 - 6x^2 + 25)$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 0.2(3x^2 - 12x) = 0.6x(x-4)$.
Критические точки: $y'=0 \implies x=0, x=4$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $0 < x < 4$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 4$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=0$ — точка максимума. $y(0)=5$. Max: $(0, 5)$.
$x=4$ — точка минимума. $y(4) = 0.2(64 - 96 + 25) = 0.2(-7) = -1.4$. Min: $(4, -1.4)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = (0.6x^2 - 2.4x)' = 1.2x - 2.4 = 1.2(x-2)$.
Точка перегиба при $x=2$. $y(2) = 0.2(8 - 24 + 25) = 0.2(9) = 1.8$. Точка перегиба: $(2, 1.8)$.
При $x < 2$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 2$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$, убывает на $[0, 4]$. Точка локального максимума $(0, 5)$. Точка локального минимума $(4, -1.4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 2)$ и выпуклый вниз на $(2, +\infty)$. Точка перегиба $(2, 1.8)$. График функции представлен выше.

3) Исследуем функцию $y = x^3 - 5x^2 + 8x$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка (0, 0).
С осью OX: при $y=0$, $x(x^2 - 5x + 8) = 0$. $x_1=0$. Для $x^2 - 5x + 8 = 0$ дискриминант $D = 25 - 32 = -7 < 0$, действительных корней нет. Единственная точка пересечения — (0, 0).

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 + 8(-x) = -x^3 - 5x^2 - 8x$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 3x^2 - 10x + 8$.
$y'=0 \implies 3x^2 - 10x + 8 = 0$. $D = 100 - 96 = 4$. $x_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{6}$.
Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = 4/3$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < 4/3$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $4/3 < x < 2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > 2$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=4/3 \approx 1.33$ — точка максимума. $y(4/3) = 112/27 \approx 4.15$. Max: $(4/3, 112/27)$.
$x=2$ — точка минимума. $y(2) = 8 - 20 + 16 = 4$. Min: $(2, 4)$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = 6x - 10$. Точка перегиба при $x = 10/6 = 5/3 \approx 1.67$.
$y(5/3) = 110/27 \approx 4.07$. Точка перегиба: $(5/3, 110/27)$.
При $x < 5/3$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 5/3$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 4/3]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[4/3, 2]$. Точка локального максимума $(4/3, 112/27)$. Точка локального минимума $(2, 4)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 5/3)$ и выпуклый вниз на $(5/3, +\infty)$. Точка перегиба $(5/3, 110/27)$. График функции представлен выше.

4) Исследуем функцию $y = 2x^3 - 3x + 1$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=1$. Точка (0, 1).
С осью OX: при $y=0$, $2x^3 - 3x + 1 = 0$. Заметим, что сумма коэффициентов $2-3+1=0$, значит $x=1$ — корень.
Делим $(2x^3 - 3x + 1)$ на $(x-1)$, получаем $(x-1)(2x^2+2x-1)=0$.
Решаем $2x^2+2x-1=0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
Корни: $x_1=1$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.37$, $x_3 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.37$.
Точки пересечения: $(1, 0)$, $(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность.
$y(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x) + 1 = -2x^3 + 3x + 1$. Функция общего вида.

4. Производная и критические точки.
$y' = 6x^2 - 3 = 3(2x^2-1)$.
$y'=0 \implies 2x^2=1 \implies x = \pm 1/\sqrt{2} = \pm \sqrt{2}/2 \approx \pm 0.707$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
При $x < -\sqrt{2}/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
При $-\sqrt{2}/2 < x < \sqrt{2}/2$, $y' < 0$, функция убывает.
При $x > \sqrt{2}/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
$x=-\sqrt{2}/2$ — точка максимума. $y(-\sqrt{2}/2) = 1+\sqrt{2} \approx 2.41$. Max: $(-\sqrt{2}/2, 1+\sqrt{2})$.
$x=\sqrt{2}/2$ — точка минимума. $y(\sqrt{2}/2) = 1-\sqrt{2} \approx -0.41$. Min: $(\sqrt{2}/2, 1-\sqrt{2})$.

6. Вторая производная, точки перегиба и выпуклость.
$y'' = 12x$. Точка перегиба при $x = 0$.
$y(0)=1$. Точка перегиба $(0, 1)$, совпадает с пересечением оси OY.
При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

7. Построение графика.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}/2]$ и $[\sqrt{2}/2, +\infty)$, убывает на $[-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2]$. Точка локального максимума $(-\sqrt{2}/2, 1+\sqrt{2})$. Точка локального минимума $(\sqrt{2}/2, 1-\sqrt{2})$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 1)$. График функции представлен выше.

7.132. 1) $y = x^4 - 2x^2 - 3$;

2) $y = 2x^2 - x^4$;

3) $y = 9x^5 + 3x^3$;

4) $y = 0,5(x + 1)^2(x - 2)^3$.

1) Для функции $y = x^4 - 2x^2 - 3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную функции: $y' = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.
Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$.
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 1)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
Промежутки возрастания функции: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки убывания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 3 = -3$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, точки экстремума: $x_{max}=0$, $y_{max}=-3$; $x_{min}=-1$, $y_{min}=-4$; $x_{min}=1$, $y_{min}=-4$.

2) Для функции $y = 2x^2 - x^4$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Находим критические точки: $y' = 0$.
$4x - 4x^3 = 0$
$4x(1 - x^2) = 0$
$4x(1 - x)(1 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Определим знак производной на интервалах:
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
Промежутки возрастания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
Промежутки убывания функции: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1$.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 2(0)^2 - 0^4 = 0$.
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 2(1)^2 - 1^4 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, точки экстремума: $x_{max}=-1$, $y_{max}=1$; $x_{min}=0$, $y_{min}=0$; $x_{max}=1$, $y_{max}=1$.

3) Для функции $y = 9x^5 + 3x^3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (9x^5 + 3x^3)' = 45x^4 + 9x^2$.
Находим критические точки: $y' = 0$.
$45x^4 + 9x^2 = 0$
$9x^2(5x^2 + 1) = 0$
Так как $5x^2 + 1 > 0$ для любого $x$, единственной критической точкой является $x = 0$.
Определим знак производной. Выражение $y' = 9x^2(5x^2 + 1)$ неотрицательно для всех $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $5x^2+1 > 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.
Так как производная не меняет знак в точке $x=0$, то в этой точке нет экстремума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, точек экстремума нет.

4) Для функции $y = 0.5(x + 1)^2(x - 2)^3$:
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:
$y' = (0.5(x + 1)^2)'(x - 2)^3 + 0.5(x + 1)^2((x - 2)^3)'$
$y' = 0.5 \cdot 2(x+1)(x-2)^3 + 0.5(x+1)^2 \cdot 3(x-2)^2$
$y' = (x+1)(x-2)^3 + 1.5(x+1)^2(x-2)^2$
Вынесем общий множитель $(x+1)(x-2)^2$:
$y' = (x+1)(x-2)^2((x-2) + 1.5(x+1))$
$y' = (x+1)(x-2)^2(x - 2 + 1.5x + 1.5)$
$y' = (x+1)(x-2)^2(2.5x - 0.5)$
$y' = 0.5(x+1)(x-2)^2(5x-1)$
Находим критические точки: $y' = 0$.
$0.5(x+1)(x-2)^2(5x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1/5 = 0.2$, $x_3 = 2$.
Определим знак производной. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак $y'$ определяется знаком произведения $(x+1)(5x-1)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ оба множителя отрицательны, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0.2)$ множитель $(x+1)>0$, а $(5x-1)<0$, поэтому $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0.2; 2)$ оба множителя положительны, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$ оба множителя положительны, $y' > 0$, функция возрастает.
Промежутки возрастания функции: $(-\infty; -1]$ и $[0.2; +\infty)$.
Промежуток убывания функции: $[-1; 0.2]$.
Точки экстремума:
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = 0.5(-1+1)^2(-1-2)^3 = 0$.
В точке $x = 0.2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(0.2) = 0.5(0.2+1)^2(0.2-2)^3 = 0.5(1.2)^2(-1.8)^3 = 0.5 \cdot 1.44 \cdot (-5.832) = -4.19904$.
В точке $x = 2$ производная не меняет знак, поэтому экстремума в этой точке нет.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0.2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 0.2]$, точки экстремума: $x_{max}=-1$, $y_{max}=0$; $x_{min}=0.2$, $y_{min}=-4.19904$.

7.133. 1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

2) $y = \frac{2}{x^2 + x + 1}$

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$

4) $y = \frac{x - 1}{x^2 - 4}$

1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = y(x)$.
Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{1}{0^2-1} = -1$. Точка пересечения $(0, -1)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x^2-1} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель равен 1. Точек пересечения с осью Ox нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$.
$\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1} = -\infty$, $\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2-1} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-1} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \left(\frac{1}{x^2-1}\right)' = -\frac{(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$.
Критическая точка: $y' = 0 \Rightarrow -2x=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=0$ является точкой локального максимума. $y(0) = -1$.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \left(-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\right)' = -\frac{2(x^2-1)^2 - 2x \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}$.
$y'' = 0$ не имеет решений, так как $6x^2+2 > 0$ для всех $x$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, $x^2-1 > 0$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (-1, 1)$, $x^2-1 < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
Точек перегиба нет.

Ответ: Сводная таблица исследования:

2) $y = \frac{2}{x^2 + x + 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
Знаменатель $x^2 + x + 1$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Корней нет. Знаменатель никогда не равен нулю и всегда положителен.
Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - x + 1} = \frac{2}{x^2 - x + 1}$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{2}{1} = 2$. Точка $(0, 2)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{2}{x^2+x+1} = 0$. Решений нет. Пересечений с Ox нет.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: нет, так как знаменатель не обращается в ноль.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2+x+1} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \left(\frac{2}{x^2+x+1}\right)' = -2 \frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$.
Критическая точка: $y'=0 \Rightarrow 2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.
- При $x < -1/2$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x > -1/2$, $y' < 0$, функция убывает.
Точка $x=-1/2$ является точкой максимума. $y(-1/2) = \frac{2}{1/4-1/2+1} = \frac{2}{3/4} = 8/3$.
Максимум в точке $(-0.5, 8/3)$.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{12x(x+1)}{(x^2+x+1)^3}$.
$y''=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-1$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- При $x \in (-1, 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
Точки перегиба: $x=-1$ ($y(-1)=2$) и $x=0$ ($y(0)=2$). Точки $(-1, 2)$ и $(0, 2)$.

Ответ: Сводная таблица исследования:

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2-1} = -\frac{x}{x^2-1} = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
- $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{x^2-1} = -\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x^2-1} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x^2-1} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \frac{1(x^2-1)-x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$.
Так как $x^2+1>0$ и $(x^2-1)^2>0$, то $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Функция убывает на каждом из интервалов: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, \infty)$. Экстремумов нет.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$y''=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- При $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка перегиба: $(0, 0)$.

Ответ: Сводная таблица исследования:

4) $y = \frac{x-1}{x^2 - 4}$

Проведем полное исследование функции и построим ее график.
1. Область определения.
$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Четность/нечетность.
$y(-x) = \frac{-x-1}{(-x)^2-4} = \frac{-(x+1)}{x^2-4}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{-1}{-4} = 1/4$. Точка $(0, 1/4)$.
- С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x-1}{x^2-4} = +\infty$, $\lim_{x \to 2^-} \frac{x-1}{x^2-4} = -\infty$.
$\lim_{x \to -2^+} \frac{x-1}{x^2-4} = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} \frac{x-1}{x^2-4} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{x^2-4} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Производная и промежутки монотонности.
$y' = \frac{1(x^2-4)-(x-1)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2+2x-4}{(x^2-4)^2}$.
$y'=0 \Rightarrow -x^2+2x-4=0 \Rightarrow x^2-2x+4=0$. Дискриминант $D = 4-16=-12 < 0$. Корней нет. Числитель $-(x^2-2x+4) = -((x-1)^2+3)$ всегда отрицателен. Значит, $y'<0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6. Вторая производная и промежутки выпуклости.
$y'' = \frac{2(x^3-3x^2+12x-4)}{(x^2-4)^3}$.
Найдем корень числителя $g(x) = x^3-3x^2+12x-4$. $g'(x) = 3x^2-6x+12=3((x-1)^2+3)>0$, значит $g(x)$ монотонно возрастает и имеет один корень. $g(0)=-4, g(1)=6$, корень $x_0 \in (0,1)$, примерно $x_0 \approx 0.35$. - $x \in (-\infty, -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (-2, x_0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
- $x \in (x_0, 2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (2, \infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
Точка перегиба при $x_0 \approx 0.35$. $y(x_0) \approx 0.17$.

Ответ: Сводная таблица исследования:

7.134. 1) $y = x\sqrt{2-x};$

2) $y = x^2\sqrt{1+x};$

3) $y = \sqrt[3]{x^3-3x};$

4) $y = \sqrt{x+\sqrt{x-\sqrt{x}}}.$

1) Дана функция $y = x\sqrt{2-x}$.

Найдем область определения функции. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, 2]$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u = x$ и $v = \sqrt{2-x}$.

Находим производные от $u$ и $v$:

$u' = (x)' = 1$.

$v' = (\sqrt{2-x})' = \frac{(2-x)'}{2\sqrt{2-x}} = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}\right) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

Производная определена при $2-x > 0$, то есть при $x < 2$.

Ответ: $y' = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

2) Дана функция $y = x^2\sqrt{1+x}$.

Область определения функции: выражение под корнем $1+x \ge 0$, что означает $x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1, \infty)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2$ и $v = \sqrt{1+x}$.

Находим производные от $u$ и $v$:

$u' = (x^2)' = 2x$.

$v' = (\sqrt{1+x})' = \frac{(1+x)'}{2\sqrt{1+x}} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{1+x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Приводим к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{2x\sqrt{1+x} \cdot 2\sqrt{1+x} + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x(1+x) + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x + 4x^2 + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

В числителе можно вынести $x$ за скобки: $y' = \frac{x(5x+4)}{2\sqrt{1+x}}$.

Производная определена при $1+x > 0$, то есть при $x > -1$.

Ответ: $y' = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

3) Дана функция $y = \sqrt[3]{x^3 - 3x}$.

Область определения: кубический корень, как и многочлен под ним, определен для любых действительных чисел. $D(y) = (-\infty, \infty)$.

Представим функцию в виде степени: $y = (x^3 - 3x)^{1/3}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Пусть $u = x^3 - 3x$. Тогда производная $u' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Находим производную $y$:

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x^2 - 3) = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 3)$.

Перепишем выражение в виде дроби:

$y' = \frac{3x^2 - 3}{3(x^3 - 3x)^{2/3}} = \frac{3(x^2 - 1)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}} = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}}$.

Производная не определена в точках, где знаменатель равен нулю, то есть где $x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2-3)=0$. Это точки $x=0$, $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x)^2}}$.

4) Дана функция $y = \sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

Найдем область определения функции, анализируя каждый корень от внутреннего к внешнему.

1. Внутренний корень $\sqrt{x}$: требует, чтобы $x \ge 0$.

2. Средний корень $\sqrt{x - \sqrt{x}}$: требует, чтобы $x - \sqrt{x} \ge 0$. Так как $x \ge 0$, можно записать $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{x} = 0$ (то есть $x=0$) или $\sqrt{x} - 1 \ge 0$ (то есть $\sqrt{x} \ge 1$, что означает $x \ge 1$).

3. Внешний корень $\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}$: требует, чтобы $x + \sqrt{x - \sqrt{x}} \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$ из п.2, так как $x \ge 0$ и $\sqrt{x - \sqrt{x}} \ge 0$, следовательно их сумма также неотрицательна.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{0\} \cup [1, \infty)$.

Для нахождения производной будем последовательно применять правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$y' = \frac{(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})'}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}}$.

Найдем производную числителя: $(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})' = 1 + (\sqrt{x - \sqrt{x}})'$.

В свою очередь, $(\sqrt{x - \sqrt{x}})' = \frac{(x - \sqrt{x})'}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

И производная выражения в числителе: $(x - \sqrt{x})' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь соберем все вместе, двигаясь в обратном порядке.

$(\sqrt{x - \sqrt{x}})' = \frac{1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

Тогда $(x + \sqrt{x - \sqrt{x}})' = 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}$.

И наконец, производная исходной функции:

$y' = \frac{1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} \left( 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x(x - \sqrt{x})}} \right)$.

Производная определена при $x>1$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x - \sqrt{x}}}} \left( 1 + \frac{2\sqrt{x}-1}{4\sqrt{x}\sqrt{x - \sqrt{x}}} \right)$.

7.135. 1) $y = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = x + \sin x$;

4) $y = \cos 2x - x + 1$.

1) Дана функция $y = \frac{1}{3}\sin(3x - \frac{\pi}{4})$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае $y = f(u) = \frac{1}{3}\sin u$, а $u = g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем производную внешней функции по $u$: $f'(u) = (\frac{1}{3}\sin u)' = \frac{1}{3}\cos u$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$: $g'(x) = (3x - \frac{\pi}{4})' = (3x)' - (\frac{\pi}{4})' = 3 - 0 = 3$.

Теперь перемножим результаты, подставив вместо $u$ его выражение через $x$:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{3}\cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot 3 = \cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $y' = \cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

2) Дана функция $y = 2\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

Эта функция также является сложной. Применим цепное правило. Здесь $y = f(u) = 2\cos u$, а $u = g(x) = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (2\cos u)' = -2\sin u$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})' = (\frac{1}{2}x)' + (\frac{\pi}{3})' = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$.

Перемножаем производные:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -2\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $y' = -\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3})$.

3) Дана функция $y = x + \sin x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы двух функций: $(u+v)' = u' + v'$.

Находим производную каждого слагаемого в отдельности:

Производная от $x$: $(x)' = 1$.

Производная от $\sin x$: $(\sin x)' = \cos x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Ответ: $y' = 1 + \cos x$.

4) Дана функция $y = \cos 2x - x + 1$.

Используем правило дифференцирования суммы и разности функций. Найдём производную каждого члена выражения.

$y' = (\cos 2x)' - (x)' + (1)'$.

Производная первого члена $\cos 2x$ находится по цепному правилу: $(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.

Производная второго члена: $(x)' = 1$.

Производная третьего члена (константы): $(1)' = 0$.

Теперь объединяем результаты:

$y' = -2\sin 2x - 1 + 0 = -2\sin 2x - 1$.

Ответ: $y' = -2\sin 2x - 1$.