Номер 7.130, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.130. 1) $y = \sin x;$

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

1) Проведем исследование функции $y = \sin x$ и найдем ее основные свойства.

Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений: Значения функции синус находятся в пределах отрезка от -1 до 1 включительно. Следовательно, область значений $E(y) = [-1; 1]$.

Периодичность: Функция является периодической. Наименьший положительный период $T$ для $y = \sin x$ равен $2\pi$, так как $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ для любого значения $x$.

Четность: Для проверки на четность/нечетность найдем $y(-x)$.
$y(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -y(x)$.
Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y(x) = 0$.
$\sin x = 0$
Это уравнение имеет решения $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Экстремумы и монотонность:

Максимальное значение функции равно 1. Оно достигается в точках, где $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -1. Оно достигается в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), $k \in \mathbb{Z}$.

Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \sin x$ — нечетная, периодическая с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Область определения — все действительные числа $\mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[-1, 1]$. Нули функции находятся в точках $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Проведем исследование функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ и найдем ее основные свойства. График этой функции получается из графика $y = \cos x$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{4}$.

Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. Для $y=\cos x$ она равна $[-1, 1]$, следовательно, для данной функции область значений также $E(y) = [-1; 1]$.

Периодичность: Функция $y = \cos x$ имеет наименьший положительный период $2\pi$. Горизонтальный сдвиг не изменяет период, поэтому период функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ также равен $T = 2\pi$.

Четность: Проверим на четность/нечетность.
$y(-x) = \cos(-x - \frac{\pi}{4}) = \cos(-(x + \frac{\pi}{4}))$.
Так как косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$), то $y(-x) = \cos(x + \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y(x) = 0$.
$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0$
Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы и монотонность:

Максимальное значение функции равно 1. Оно достигается, когда $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
$x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно -1. Оно достигается, когда $\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -1$.
$x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция возрастает на промежутках вида $[\frac{5\pi}{4} + 2k\pi; \frac{9\pi}{4} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \frac{5\pi}{4} + 2k\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ — функция общего вида, периодическая с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Область определения — все действительные числа $\mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[-1, 1]$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, точки минимума: $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.